OLS dengan bentuk matriks

Question

Jika saya memiliki model: $y = β_1x_1 + β_2x_2 + u$.
Saya harus menunjukkan bahwa penaksir OLS adalah:

Saya pikir saya harus menggunakan $\beta =\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{pmatrix}=(X^tX)^{-1}X^tY$. Tapi aku bingung. Bisakah seseorang menulis matriks X dan Y? Saya hanya perlu mengalikan koordinat pertama di$2\times1$, karena saya hanya perlu menunjukkannya untuk $\beta_1$?

Answer 1

$$\require{cancel} \xcancel{ X = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & x_{11} & x_{12} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n1} & x_{n2} \end{array} \right]. \qquad\qquad Y = \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right]. \qquad {}} $$

Kemudian edit: Saya gagal untuk memperhatikan bahwa model yang diusulkan dalam posting asli tidak memiliki intersep. Jadi itu artinya kita punya$$ X = \left[ \begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} \\ \vdots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} \end{array} \right]. \qquad\qquad Y = \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right]. $$