Operator kepadatan dan dekomposisi spektral

Question

Ada dua pertanyaan yang membuat saya penasaran, dan keduanya mungkin sangat konyol. Saya hanya belum bisa meyakinkan diri saya sendiri.

Kita tahu bahwa operator kepadatan $\rho_E$ memiliki bentuk $\rho_E = \sum_j \rho_j |x_i\rangle\langle x_i|$ dimana $\text{Tr}(\rho_E) = \sum_j \rho_j = 1$. Sejak$\rho_E$ juga normal, itu harus memiliki dekomposisi spektral $\rho_E = \sum_i \lambda_i\Pi_i$ dimana $\Pi_i$ adalah proyeksi ke ruang angkasa yang terkait dengan $\lambda_i$.

Sekarang, apakah kedua dekomposisi ini sama? Berarti$\lambda_i = \rho_i$ dan $|x_i\rangle\langle x_i| = \Pi_i$?

Jika ya, apakah ada penjelasan yang bagus mengapa $|x_i\rangle\langle x_i|$sebenarnya adalah proyeksi ke ruang angkasa? Artinya, asumsikan kita memiliki beberapa peta linier$M: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ dengan, katakanlah, vektor eigen $v = (2,1)^T$. Akan$(2,1)^T \cdot (2,1) = |v\rangle\langle v|$ sebenarnya merupakan proyeksi ke eigensapce terkait $v$?

Answer 1

Dengan notasi "ket-bra" $|u\rangle\!\langle v|$ yang kami maksud adalah operator linier $x\mapsto |u\rangle\langle v|x\rangle$, dimana $\langle v|x\rangle$ adalah hasil kali dalam antara vektor $|x\rangle$ dan $|v\rangle$. Dalam notasi matematika yang lebih standar, ini mungkin dilambangkan dengan$uv^*$disini $v^*$ adalah ganda dari $v$.

Karena ini, $|v\rangle\!\langle v|$, untuk vektor satuan apa pun $|v\rangle$ (yang biasanya terjadi ketika seseorang menggunakan notasi ket), adalah proyektor trace-1, yang dengan mudah memproyeksikan ke ruang satu dimensi yang direntang oleh $|v\rangle$.