Operator terjemahan dan operator paritas

Question

(Ini diambil dari Pengantar Mekanika Kuantum oleh D.Griffiths, edisi ke-3, Soal 6.18 .)

Jika suatu sistem memiliki simetri terbalik, kita tahu bahwa [$\hat{H},\hat{\Pi}] =0$ dimana $\hat{\Pi}$ adalah operator paritas.

Ini berarti bahwa eigenstate dari operator paritas adalah eigenstate dari $\hat{H}$. Yaitu:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi \hbar} }\cos(px/\hbar)$

$g(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi \hbar} }\sin(px/\hbar)$

Ini mudah dilihat dengan melakukan $\hat{\Pi} f(x) =f(x) $ dan $\hat{\Pi} g(x) = -g(x) $.

Masalahnya mengatakan bahwa operator terjemahan mencampurkan kedua keadaan ini, yang berarti keduanya harus merosot.

Pertanyaan

Tunjukkan bahwa operator terjemahan menggabungkan kedua status ini (f dan g), yang berarti keduanya harus merosot.

Inilah yang saya lakukan:

Operator terjemahan: $\hat{T}u(x) = u(x-a)$
$$\hat{T}f(x)= \frac{1}{\sqrt{\pi \hbar} }\cos(pa/\hbar)\cos(px/\hbar) - \frac{1}{\sqrt{\pi \hbar} }\sin(pa/\hbar)\sin(px/\hbar) \\ = \cos(pa/\hbar)f(x)- \sin(pa/\hbar)g(x). $$

Saya dapat melihat bahwa negara bagian itu bercampur. Tetapi tidak memiliki energi yang sama dengan$f(x)$ dan $g(x)$. Bila saya lakukan$\hat{H}\hat{T}f(x) = E_n( \cos(pa/\hbar)f(x)- \sin(pa/\hbar)g(x) )$

Nilai eigen $E_n$dikalikan dengan konstanta. Satu-satunya cara ini benar jika saya mengatakan itu$E_n( \cos(pa/\hbar)f(x)- \sin(pa/\hbar)g(x) ) = E_n w(x) $.

Tidak dapatkah saya menunjukkan bahwa mereka merosot dengan menggunakan fakta sederhana itu $\hat{H} f(x) = E_n f(x) $ dan $\hat{H} g(x) = E_n g(x) $, karena [$\hat{H},\hat{\Pi}] =0$ ?

Answer 1

Tidak dapatkah saya menunjukkan bahwa mereka merosot dengan menggunakan fakta sederhana itu $\hat{H} f(x) = E_n f(x) $ dan $\hat{H} g(x) = E_n f(x) $, karena [$\hat{H},\hat{\Pi}] =0$ ?

Dari mana asalnya ini? $\hat{\Pi}$tidak mencampur f dengan g ; pada kenyataannya, hal itu membuat mereka terlihat terpisah dan terpisah.

Masalahnya meminta Anda untuk menganggapnya terpisah $E_f$ dan $E_g$untuk f dan g , dan digunakan$$ \hat{H}(\hat{T}f(x)) = \hat{T} \hat{H} f(x) = E_f (\hat{T} f(x) ), $$ yang secara eksplisit berbunyi $$ \hat{H}( \cos(pa/\hbar)f(x)- \sin(pa/\hbar)g(x) )=E_f( \cos(pa/\hbar)f(x)- \sin(pa/\hbar)g(x) )~~~\leadsto \\ - \sin(pa/\hbar)\hat{H}g(x)= - \sin(pa/\hbar) E_f~g(x),~~~~ \leadsto ~~~~E_f=E_g. $$

Answer 2

Saya tidak mendapatkan pertanyaan tetapi dari apa yang saya dapatkan Anda memiliki berikut mari

$P$ adalah operator paritas $T$ adalah operator terjemahan dan biarkan $$[T,H]=[P,H]=0$$ juga biarkan

jadi kita punya $$T|\alpha\rangle=|\beta\rangle$$ $$P|\alpha\rangle=|\gamma\rangle$$ juga ketiganya memiliki energi yang sama sejak itu $T$ dan $P$bepergian dengan hamiltonian. sekarang kita punya$$[T,P]=C$$ c adalah beberapa operator yang tidak penting

sekarang $$\langle\alpha| TP|\alpha\rangle\neq\langle\alpha| PT|\alpha\rangle=\langle\alpha| TP|\alpha\rangle+\langle\alpha| C|\alpha\rangle\neq1$$ jadi $\gamma$ $\beta$keadaan adalah keadaan yang berbeda dengan energi yang sama jadi inilah kemerosotan Anda. di sini idenya adalah untuk menunjukkan hamiltonian memiliki status eigen berbeda dengan energi yang sama. dan pihak dengan terjemahan memberlakukannya.