$p$representasi -adic

Question

Saya membaca tentang $p$representasi -adic. Saya tidak bisa mengerti bagaimana caranya$p$Representasi -adic adalah semacam bayangan cermin dari basis $p$ representasi dari bilangan real.

Diberikan $\alpha \in \mathbb Q_{p}$ dengan

$$ \alpha = \sum_{k=-r}^{\infty} a_{k}p^k,$$

kita bisa menulis $\alpha$ sebagai $$ \alpha = \cdots a_3a_2a_1a_0.a_{-1}a_{-2} \cdots a_{-r}.$$

Sepertinya saya tidak mengerti bagaimana kita bisa menjumlahkan dan mengalikan $p$nomor -adic. Bisakah seseorang menjelaskan dengan contoh konkret? Mungkin ($\cdots 555.5)^2$ di $\mathbb Q_{7} $ sejak saya membaca tentang itu dan tidak bisa memahaminya sama sekali?

Answer 1

Rekomendasi saya adalah ini: persiapkan untuk diri Anda tabel penjumlahan dan tabel perkalian untuk bilangan bulat $0,1,\dots,6,7$, yang dinotasikan $0,1,\dots,6,10$dalam notasi terpisah. Kemudian lanjutkan dengan perkalian Anda dengan cara yang persis sama yang (saya harap) Anda pelajari di sekolah dasar, dengan carry, dan sebagainya. Anda akan melihat polanya, sejak itu$\dots555;5$ adalah bilangan rasional $\frac{-5}{42}$, tetapi perlu beberapa saat untuk menampilkannya. Ke tiga puluh tempat, kuadrat Anda di atas ternyata$$\dots2065432065432065432065432065;44 $$

Meskipun saya telah melakukan banyak hal $p$Perhitungan -adic jenis ini dengan tangan, saya jamin bahwa untuk perhitungan ini saya mendapat bantuan dari paket yang menangani $p$nomor -adic.

Answer 2

$\Bbb{Z}_7$ dan $\Bbb{Q}_7$ adalah penyelesaian $\Bbb{Z}$ dan $\Bbb{Q}$ untuk nilai absolut $|p^k c/d|_7= p^{-k},p\nmid c,p\nmid d$. Kemudian cara kerjanya sama seperti untuk$\Bbb{R}$ penyelesaian $\Bbb{Q}$ untuk $|.|_\infty$. Perkirakan seri Anda secara konkret$\sum_{k=-r}^{\infty} a_{k}p^k,\sum_{k=-r}^{\infty} b_{k}p^k$ oleh $\sum_{k=-r}^n a_{k}p^k,\sum_{k=-r}^n b_{k}p^k$, kalikan sebagai bilangan rasional standar, Anda mendapatkan perkiraannya $(\sum_{k=-r}^{\infty} a_{k}p^k)(\sum_{k=-r}^{\infty} b_{k}p^k)$