Pendekatan dan Filter IIR

Question

Pertimbangkan sistem waktu-waktu-diskrit dengan masukan $x[n]$ dan keluaran $y[n]$ memuaskan

$$y[n] = \sum_{k=1}^5{x[n-k]}$$

Pertimbangkan untuk mendekati sistem yang diinginkan dengan sistem IIR orde dua dengan fungsi sistem

$$H^{'}(z)= \frac{1}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}}$$

Gunakan kriteria kesalahan berikut:

dimana $h_d$ adalah respons impuls yang diinginkan. $$E = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\lvert h_d[n]+a_1h_d[n-1]+a_2h_d[n-2]\right\rvert^2$$

Bagaimana fungsi kesalahan tertentu dapat berguna dalam menyelesaikan sistem persamaan atau respons impuls yang diinginkan?

Apakah saya perlu mengambil turunan wrt keduanya $a_1$ dan $a_2$ dan menjadikannya 0 untuk mendapatkan sistem persamaan?

Sekarang inilah yang saya dapatkan: $$0 = \sum_{n=-\infty}^{\infty}( h_d[n]h_d[n-1]+a_1h_d[n-1]h_d[n-1]+a_2h_d[n-2]h_d[n-1])$$ dan
$$0 = \sum_{n=-\infty}^{\infty}( h_d[n]h_d[n-2]+a_1h_d[n-1]h_d[n-2]+a_2h_d[n-2]h_d[n-2])$$

Sekarang bagaimana saya bisa menyelesaikan sistem dua persamaan ini dan bagaimana saya bisa memperkirakan respon impuls yang diinginkan dari itu?

Answer 1

Saya pikir itu instruktif untuk mencoba memahami bagaimana fungsi kesalahan ini diturunkan dan mengapa itu masuk akal. Pertama, respons impuls yang diinginkan$h_d[n]$ diberikan secara implisit oleh hubungan input-output dari sistem yang diinginkan:

$$y[n]=\sum_{k=1}^{5}x[n-k]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h_d[k]x[n-k]\tag{1}$$

Fungsi error yang diberikan adalah fungsi error yang diminimalkan dengan metode Prony untuk desain filter IIR. Kami mencoba memperkirakan fungsi transfer yang diberikan$H_d(z)$ dengan filter IIR $H(z)=B(z)/A(z)$:

$$B(z)\stackrel{!}{=}H_d(z)A(z)\tag{2}$$

Untuk contoh yang diberikan kita dapatkan (dengan $B(z)=1$)

$$1\stackrel{!}{=}\left(h_d[0]+h_d[1]z^{-1}+\ldots+h_d[N-1]z^{-(N-1)}\right)\left(1+a_1z^{-1}+z_2z^{-2}\right)\tag{3}$$

Untuk persamaan $(3)$ agar puas, kita membutuhkan semua koefisien yang diasosiasikan dengan pangkat negatif $z$ untuk menghilang:

$$\begin{align}h_d[1]+h_d[0]a_1&\stackrel{!}{=}0\\ h_d[2]+h_d[1]a_1+h_d[0]a_2&\stackrel{!}{=}0\\ h_d[3]+h_d[2]a_1+h_d[1]a_2&\stackrel{!}{=}0\\\vdots\end{align}\tag{4}$$

Dalam praktiknya, kita bisa menyelesaikannya $(4)$ dalam cara perkiraan dengan meminimalkan jumlah kuadrat dari sisi kiri, yang mengarah ke fungsi kesalahan yang diberikan

$$E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\big(h_d[n]+h_d[n-1]a_1+h_d[n-2]a_2\big)^2\tag{5}$$

Akhirnya, koefisien optimal $a_1$ dan $a_2$ diperoleh dengan mengambil turunan dari $(5)$ wrt $a_1$ dan $a_2$dan menyamakannya dengan nol. Ini menghasilkan dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui.