Penerapan Teorema Noether

Question

Saya mencoba untuk memahami salah satu contoh penerapan teorema Noether yang diberikan dalam An Introduction to Quantum Field Theory Peskin & Schroeder (Halaman no. 18, Edisi Ekonomi Mahasiswa). Bagian teks yang relevan diberikan di bawah ini.

Jika saya memahami penurunan dan pembahasan terkait di sini dengan benar, maka diasumsikan bahwa kepadatan Lagrangian$\mathcal{L}$ memenuhi persamaan Euler-Lagrange: $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = \partial_{\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\right].$$

Kebingungan Saya: Saya tidak mengerti bagaimana$\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_{\mu} \phi)^2$memenuhi persamaan Euler-Lagrange. Karena di sisi kiri, saya dapatkan$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0$, dan di sisi kanan, saya mengerti $\partial_{\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\right] = \partial_{\mu} \partial^{\mu} \phi.$ Jika diberikan $\mathcal{L}$tidak memenuhi persamaan Euler-Lagrange, lalu bagaimana rumusan Peskin & Schroeder dapat diterapkan pada kasus ini? Apa yang kulewatkan di sini?

Answer 1

Anda telah menulis persamaan Euler-Lagrange Anda dengan benar. Jadi, saat Anda menyederhanakannya, Anda mendapatkan persamaan gerak (seperti yang Anda sebutkan dalam pertanyaan Anda):$$\partial_\mu\partial^\mu\phi=\partial^2\phi=0.$$ Perhatikan bahwa tidak ada yang aneh tentang ini karena jika Anda menggunakan Lagrangian dengan istilah energi potensial juga, yaitu $$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2,$$ persamaan gerak yang akan Anda dapatkan adalah $$(\partial_\mu\partial^\mu+m^2)\phi=0.$$Semua yang kami lakukan di sini adalah menghubungkannya $m=0$, yang mengembalikan persamaan pertama.

Jika saya mengerti dengan benar, Anda mengalami masalah dengan persamaan Euler-Lagrange menjadi "puas". Saya ingin mengklarifikasi ini dengan mengoreksi pernyataan Anda: Tidak benar mengatakan bahwa "Lagrangian"$\mathcal{L}$memenuhi persamaan Euler-Lagrangian; Ini adalah "bidang"$\phi$ yang memenuhi persamaan Euler-Lagrange.

Persamaan Euler-Lagrange adalah $$\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0,$$yang memberi Anda ekspresi berbeda di kiri tergantung pada Lagrangian apa yang Anda gunakan (kami telah melihat dua contoh di atas). Anda menyamakan ekspresi di kiri dengan nol untuk mendapatkan persamaan Euler-Lagrange (atau persamaan gerak) dan menyelesaikannya$\phi$.

Saya harap ini memperjelas masalah.

Answer 2

Persamaan Euler-Lagrange tidak otomatis dipenuhi oleh $\mathcal{L}$. Ini sebaliknya. Diberikan$\mathcal{L}$, Anda dapat menemukan persamaan klasik gerak yang dipenuhi oleh medan $\phi$. Ini seperti memberi Anda rumus gaya dalam mekanika Newton. Bahkan jika kamu tahu$F$, Anda masih perlu mengetahui hukum kedua Newton $F=ma$untuk menemukan mosi. Di sini juga: diberikan$\mathcal{L}$, Anda masih membutuhkan "hukum" (persamaan EL) untuk mencari gerak.

Answer 3

Untuk apa nilainya, sangat penting pada tahap mana seseorang menggunakan persamaan Euler-Lagrange (EL) dalam aplikasi teorema Noether (pertama) . Teorema pertama Noether memiliki 2 sisi:

• Masukan: Off-shell global$^1$ (quasi) simetri . Di sini orang tidak boleh menggunakan EOM. ( Simetri on-shell adalah gagasan kosong, karena setiap kali kita memvariasikan tindakan$\delta S$ sangat terbatas dan menerapkan EOM, lalu menurut definisi $\delta S\approx 0$ menghilangkan istilah batas modulo.)

• Output: Persamaan kontinuitas on-shell . Di sini orang harus menggunakan EOM. (Jika kebetulan memegang off-shell juga, itu karena simetri global adalah bagian dari simetri lokal / gauge yang lebih besar. Lihat teorema kedua Noether dan misalnya posting Phys.SE ini .)

-

$^1$Kata on-shell dan off-shell mengacu pada apakah persamaan Euler-Lagrange (EL) (= EOM) terpenuhi atau tidak.