Perhitungan operator Laplace tensor Einstein

Question

Saya baru mengenal Relativitas dan saya mencoba memahami perhitungan ini: $$ (\nabla^\mu G)_{\mu\nu}=0 $$ dimana $G=Ric-\frac{1}{2}\mathcal{R}g $ adalah tensor Einstein, dan $\nabla^\mu=\nabla_{\partial^\mu} $, dimana $\partial^\mu=g^{\mu\nu}\partial_\nu $ (tidak tahu apakah itu notasi standar).

Saya menggunakan linearitas $\nabla$dan masalah dimulai pada periode kedua, ketika saya mencoba menerapkan aturan Leibniz. saya akan menulis

$$ (\nabla^\mu G)_{\mu\nu} = (\partial^\mu\mathcal{R})g_{\mu\nu} + \mathcal{R}(\nabla^\mu g)_{\mu\nu} $$

tapi catatan saya sepertinya menggunakan itu $$ \mathcal{R}(\nabla^\mu g)_{\mu\nu} = 0 $$karena mereka mengabaikannya. Begitu? Adakah yang bisa menjelaskan mengapa?

PS: Saya mungkin menulis bull *** t, karena saya benar-benar newbie di bidang itu.

Answer 1

$\nabla^\mu g_{\mu\nu}\neq \partial^\mu g_{\mu\nu}$, tapi memang benar begitu $\nabla^\mu g_{\mu\nu}=0$ karena $\nabla^\mu g_{\mu\nu} = g^{\alpha\mu}\nabla_\alpha g_{\mu\nu}$ dan $\nabla_\alpha g_{\mu\nu}=0$karena dalam relativitas umum Anda biasanya bekerja dengan koneksi Levi-Civita , yang kompatibel dengan metrik . Yaitu,$\nabla g=0$.