Perubahan basis dan dimensi subruang

Question

Saya mencoba membahas beberapa konsep dasar di sini. Saya memiliki beberapa subruang vektor$\mathcal{V}$ dan $\mathcal{W} = \{Ax \mid x \in \mathcal{V}\}$, dimana $A$adalah matriks ortogonal. Apakah selalu benar itu$\dim(\mathcal{W}) = \dim(\mathcal{V})$? Jika$\{v_1, v_2, \dots, v_k\}$ adalah dasar dari $\mathcal{V}$, bagaimana kita bisa menemukan dasar dari $\mathcal{W}$?

Answer 1

Cukup untuk mengasumsikan itu $A$ dapat dibalik, yang merupakan matriks ortogonal, untuk disimpulkan $W=A(V)$ memiliki dimensi yang sama dengan $V$.

Itu karena keduanya $A$ dan $A^{-1}$ mengambil himpunan vektor bebas linier menjadi himpunan bebas linier.

Seharusnya $v_1,\dots,v_k$ independen dan $\sum_i\lambda_i\,Av_i=0$, lalu terapkan $A^{-1}$ untuk memperoleh $\sum_i\lambda_iv_i=0$ jadi masing-masing $\lambda_i=0$.

Answer 2

Saya akan menganggap Anda bekerja dengan subruang berdimensi-hingga.

• Secara umum, jika $W$ adalah subruang dari $V$ dan $\dim (W) = \dim (V)$, kemudian $W = V$, jadi dasar apa pun $V$ adalah dasar dari $W$.
• Anda telah menentukan $W$ sebagai ruang kolom $A$ (rentang kolom $A$). Jika kolom$A$ bebas linier, maka dimensi $W$ adalah jumlah kolom $A$. Dalam situasi spesifik Anda,$A$ adalah matriks persegi yang dapat dibalik (karena ortogonal) dengan $\dim(V)$ kolom jadi $\dim(W) = \dim(V)$.