Picard-surjectivity dan Morita-ekuivalensi

Question

Katakanlah itu aljabar $A$ di atas lapangan $k$ adalah perkiraan Picard jika peta kanonik $$ \mathrm{Aut}(A) \rightarrow \mathrm{Pic}(A)$$bersifat dugaan. Sini$\mathrm{Pic}(A)$ menunjukkan kelompok kelas isomorfisme yang dapat dibalik $A$-$A$-bimodules dan peta mengirimkan automorfisme $\alpha$ ke $A$-$A$-bimodule $A_\alpha$, di mana tindakan kiri adalah yang biasa dan tindakan kanan adalah lewat $\alpha$.

T: Untuk dimensi hingga tertentu$k$-aljabar $A$, apakah ada ekuivalen Morita yang merupakan perkiraan Picard?

Jika tidak, saya tertarik dengan kondisi di mana ini benar. Saya terutama tertarik pada kasus ini$k=\mathbb{R}$ atau $\mathbb{C}$, dan untuk semua contoh yang saya dapatkan sejauh ini, ini tampaknya benar, sejauh yang saya tahu.

Answer 1

Ya, aljabar dasar dari $A$ akan menjadi perkiraan Picard.

Aljabar dasar adalah aljabar endomorfisme $\operatorname{End}_A(\bigoplus_{i=1}^{n}P_i)$dari jumlah langsung modul proyektif (kanan) yang tidak dapat diuraikan, satu dari setiap kelas isomorfisme. Itu setara dengan Morita$A$.

Seharusnya $A$adalah dasar. Kemudian sebagai modul kiri atau kanan,$A$adalah jumlah langsung dari modul proyektif yang tidak dapat diuraikan, satu dari setiap kelas isomorfisme. Seharusnya$M$adalah bimodule yang bisa dibalik. Sejak$S\otimes_AM$ bukan nol untuk setiap modul sederhana $S$, dekomposisi jumlah langsung $M$sebagai modul kiri harus berisi setidaknya satu salinan dari setiap proyektif yang tidak dapat diuraikan. Membiarkan$X=\bigoplus_{i=1}^nS_i$ menjadi jumlah langsung dari sederhana (kanan) $A$-modul, satu dari setiap kelas isomorfisme. Sejak$X\otimes_AM\cong X\cong X\otimes_AA$, sebagai modul kiri $M$harus berisi tepat satu salinan dari setiap proyektif yang tidak dapat diuraikan dalam dekomposisi jumlah langsung. Begitu$M\cong A$sebagai modul kiri. Hak$A$-modul struktur $M$ kemudian diberikan oleh homomorfisme aljabar injeksi $A^{op}\to\operatorname{End}_A(_AA)\cong A^{op}$, yang merupakan isomorfisme oleh dimensi terbatas: yaitu, tindakan yang benar diinduksi oleh automorfisme $A$.