Properti dasar objek terminal

Question

Saya sedang mempelajari Bab 0 Aluffi dan berpikir saya bisa menggunakan beberapa ide dasar tentang objek terminal.

Morfisme apa pun dari objek terminal menjadi dirinya sendiri adalah identitas . Untuk membuktikan ini, kami hanya mengamati bahwa hanya ada satu morfisme dari objek awal$A$ke objek lain, dan harus memiliki peta identitas itu sendiri. Jadi jika$\| \text{Hom}(A,B) \| = 1$ untuk objek apapun $B$. Khususnya,$\text{Hom}(A,A)$, harus mengandung $\text{id}_A$, jadi jika $\phi \in \text{Hom}(A,A)$, kemudian $\phi$ harus menjadi identitas.

Untuk objek akhir, buktinya akan serupa. Dalam praktiknya, jika saya bisa mendapatkan komposisi fungsi dari objek awal ke dirinya sendiri, saya dapat mengatakan bahwa fungsi adalah identitas, jadi isomorfisme, dll.

Jika sebuah objek isomorfik ke objek akhir / awal, itu sendiri adalah final / inisial. Untuk membuktikan ini, misalkan$A$ adalah awal, $\phi: A \rightarrow B$ adalah isomorfisme, dan $C$adalah objek lain dalam kategori kami. Morfisme$A \rightarrow C$ selalu ada, begitu komposisinya $B \rightarrow A \rightarrow C$ dimana panah pertama berada $\phi^{-1}$ dan panah kedua adalah morfisme yang diberikan oleh $A$menjadi awal, selalu ada. Jika$f$adalah morfisme lainnya$f:B \rightarrow C$, lalu komposisinya $A \rightarrow B \rightarrow C$ adalah morfisme dari $A \rightarrow C$ jadi harus unik.

Dalam praktiknya, saya akan menggunakan ini untuk menyimpulkan suatu objek adalah inisial / terminal jika saya dapat menemukan isomorfisme dengan objek awal / akhir lainnya.

Ini hanya sketsa, tetapi apakah ini akurat? Diedit untuk kejelasan dan detail pengisian.

Answer 1

Saya kira buku tersebut menggunakan "objek terminal" untuk menunjukkan objek "awal" atau "akhir".

Seperti biasa, Anda tidak perlu melakukan kedua pembuktian untuk objek awal dan akhir, karena objek awal di $\mathcal{C}$ adalah objek terakhir di $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ dan sebaliknya.

Bukti Anda benar, tapi terlalu panjang. Membiarkan$A$ menjadi objek awal dan biarkan $f\colon A\to A$menjadi morfisme a. Sejak$\mathrm{id}_A$ adalah morfisme dengan sumber yang sama, yaitu $A$, dan target, kami memilikinya $f=\mathrm{id}_A$, dengan keunikan.

Misalkan sekarang $B$ isomorfik ke objek awal $A$; membiarkan$b\colon A\to B$menjadi isomorfisme. Ambil benda apa saja$C$ dan dua morfisme $f,g\colon B\to C$. Kemudian$fb,gb\colon A\to C$adalah dua morfisme, jadi keduanya sama. Dari$fb=gb$ kami dapatkan $f=g$ dengan menulis dengan $b^{-1}$. Ini membuktikan keunikan. Keberadaan mengikuti dari morfisme yang unik$h\colon A\to C$, jadi kita punya $hb^{-1}\colon B\to C$.