Properti integrasi

Question

Membiarkan $T>0$tetap. Membiarkan$f,g : [0,T] \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ fungsi yang dapat dibedakan sedemikian rupa, untuk beberapa $c>1$, $$f(x) \geq c, \; \forall \; x \in [0,T] .$$

saya tahu itu $f\cdot g$ juga dapat diintegrasikan.

Pertanyaan. Benarkah itu$$\int_{0}^T c \cdot g(x) \; dx \leq \int_{0}^T f(x) \cdot g(x) \; dx?$$

Saya berpikir untuk menerapkan integrasi demi bagian untuk mencoba membuktikannya, tetapi saya tidak dapat menyimpulkan apa pun.

Answer 1

Ini salah. $f(x)=c+1$ dan $g(x)=-1$ memberikan contoh tandingan.

Namun, jika kita juga punya $g(x) \geq 0$ kemudian $f(x)g(x)-cg(x) \geq 0$ begitu $\int_0^{T} [f(x)g(x)-cg(x)] \geq 0$ pemberian yang mana $\int_0^{T} f(x)g(x) \geq c \int_0^{T} f(x)dx$.