Properti tentang Operator Laplace

Question

Membiarkan $\Omega \subset \mathbb{R}^n$terbuka dan dibatasi. Pertimbangkan operatornya$$A:=-\Delta: H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega) \longrightarrow L^2(\Omega)$$ dimana $\Delta$ adalah operator Laplace di $\Omega$dengan kondisi batas Dirichlet. saya tahu itu$A$ linear, self-adjoint, dan operator positif ditentukan dengan rapat $L^2(\Omega)$.

Pertanyaan 1. Operator$A$ apakah bisa dibalik?

Saya kira begitu, karena Lax-Milgram Lemma. Selain itu, menurut saya inversnya adalah operator yang kompak. (Baik?)

Pertanyaan 2. Jika$ A $ dapat dibalik, dimungkinkan secara eksplisit kebalikannya $ A ^ {- 1} $ dari $A$? Apalagi bisa juga eksplisit$A^{-1/2}$?

Saya akui bahwa bagi saya tidak jelas arti sebenarnya dari $A^{-1/2}$.

Answer 1

Pertanyaan 1. Ya, dapat dibalik oleh teorema Lax-Milgram, dan dipadatkan oleh teorema Rellich.

Pertanyaan 2. Ya, Anda dapat membuktikan keberadaan dasar hilbertian$L^2(\Omega)$ dibangun dari fungsi eigen $A^{-1}$. Untuk$B=A^{-1}$, Anda dapat menentukan akar kuadrat dari $B$ (umumnya kekuatan pecahan) oleh: $$D(B^{1/2}):=\{f\in L^2(\Omega) : \sum_{n=1}^{\infty} \lambda_n (f|e_n)^2_{L^2} <\infty\},$$ $$B^{1/2} f = \sum_{n=1}^{\infty} \lambda_n^{1/2} (f|e_n)_{L^2}e_n,$$ dimana $(e_n)$ adalah dasar dari fungsi eigen $B$ terkait dengan nilai eigen $(\lambda_n)$.

Answer 2

Saya hanya membahas Q1:

Pertama-tama, Lax-Milgram tidak dapat digunakan, karena teorema ini hanya berlaku untuk operator dari $H$ untuk $H^*$, dimana $H$adalah ruang Hilbert. (Atau, ekuivalen, dengan bentuk bilinear di ruang Hilbert)

Invertibilitas dari $A$ tergantung pada keteraturan domain $\Omega$. Misalnya jika batasnya mulus atau jika$\Omega \subset \mathbb R^2$ adalah polihedron cembung $A$ bisa dibalik.

Di domain lain, $A$ mungkin tidak dapat dibalik, lihat, misalnya, https://mathoverflow.net/a/38803.

Akhirnya, jika $A$ bisa dibalik, kebalikannya $A^{-1}$ tidak pernah bisa kompak sebagai operator dari $L^2$ untuk $H^2 \cap H_0^1$. (Kekompakan dari operator yang dapat dibalik menyiratkan bahwa ruang adalah dimensi berhingga). Namun, jika Anda menyematkan gambar$A^{-1}$ ke $L^2$ (atau $H_0^1$), Anda mendapatkan operator $B \colon L^2 \to L^2$ dan operator ini kompak karena merupakan rangkaian dari operator yang dibatasi $A^{-1}$ dan operator kompak (embedding).