Seri aneh yang menyatu
Saya mencoba untuk mengevaluasi seri ini $$S= \sum_{n=2}^{\infty} a_n \frac{\ln (n)}{n}$$ Tapi saya punya beberapa syarat $a_n$membuat masalah menjadi sulit. Yaitu,$a_n=3$ untuk $n = 2 \mod 4$ dan $a_n = -1$ jika tidak.
Meskipun 2 mod 4 = 2 hanyalah angka, seorang teman di komentar menyarankan bahwa 2 [mod 4] mengambil nilai 2,6,10, ... yang tentu saja masuk akal. Yang berarti bahwa$a_n$ akan pergi seperti $(3 -1 -1 -1 +3 -1 -1 -1 +3 + ...)$ untuk $n=2,3,4 ...$.
Saya tidak benar-benar tahu bagaimana melakukan tes konvergensi ketika saya memiliki batasan pada konstanta penjumlahan seperti ini. Saya telah mencoba untuk menulis ulang jumlah tersebut ke bentuk yang lebih sederhana, mencoba memisahkan adalah pada dua jumlah untuk dua yang berbeda$a_n$tetapi saya tidak benar-benar tahu bagaimana melakukannya dan di sanalah saya terjebak ...
Jawaban
Jika kita bersedia bermain sedikit dengan fakta bahwa ini konvergen bersyarat, kita dapat menggunakan fakta itu $3 -1 -1 -1 = (2 + 1) + (-1) + (-2 + 1) - 1$untuk membagi rangkaian menjadi dua rangkaian alternatif: \ begin {multline} S = \ sum_ {n = 2} ^ \ infty a_n \ frac {\ ln (n)} {n} = 2 \ sum_ {n = 1} ^ { \ infty} (- 1) ^ {n + 1} \ frac {\ ln (2n)} {2n} + \ sum_ {n = 2} ^ \ infty (-1) ^ n \ frac {\ ln (n) } {n} \\ = - \ ln (2) \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1)} {n} - \ sum_ {n = 1} ^ \ infty (-1) ^ n \ frac {\ ln (n)} {n} + \ sum_ {n = 2} ^ \ infty (-1) ^ n \ frac {\ ln (n)} {n} = \ ln ^ 2 (2) , \ end {multline} dimana pada langkah terakhir kita menggunakan hasil itu$\sum_{n=1}^\infty(-1)^n/n = -\ln(2)$.
Adapun membuktikan seri konvergen, sejak $\ln(n)/n$ menurun secara monoton, Anda harus dapat menggunakan yang menunjukkan bahwa $\liminf$ dan $\limsup$ dari jumlah parsial adalah sama.
Saya menemukan bahwa urutan yang diberikan dapat ditulis sebagai $$a_n = \cos (\pi n)-\cos \left(\frac{\pi n}{2}\right)-\cos \left(\frac{3 \pi n}{2}\right)$$ dan $$\sum _{n=2}^{\infty } \left(\cos (\pi n)-\cos \left(\frac{\pi n}{2}\right)-\cos \left(\frac{3 \pi n}{2}\right)\right)\frac{\ln (n)}{n}=\frac{1}{2} \left(2 \ln^2 2+2 \gamma \ln 2-2 \gamma \log 2\right)=\ln^2 2$$
Seperti yang saya tunjukkan di komentar, ini adalah Pertanyaan B-4 dari kompetisi William Lowell Putnam 2017. Untuk kenyamanan, saya memberikan yang pertama dari dua solusi yang diberikan dari tautan di komentar saya. Saya tidak menghargai - hanya perubahan kecil pada ungkapan yang dibuat.
Wawasan utama adalah untuk mendefinisikan seri teleskop tambahan dengan istilah $$a_k = \frac{\log k}{k} - \frac{\log (k+1)}{k+1},$$ yang sepele yang kita miliki $$\sum_{k=1}^\infty a_k = 0. \tag{1}$$ Sejak $a_k > 0$ untuk $k \ge 3$, kami juga melihat itu $(1)$ benar-benar konvergen.
Setelah membangun rangkaian seperti itu yang memungkinkan penataan ulang istilah-istilahnya, selanjutnya kita amati $$3a_{4k+2} + 2a_{4k+3} + a_{4k+4} = (a_{4k+2} + a_{4k+4}) + 2(a_{4k+2} + a_{4k+3}),$$ karenanya
$$\begin{align} S &= \sum_{k=0}^\infty \left(3 \frac{\log(4k+2)}{4k+2} - \frac{\log(4k+3)}{4k+3} - \frac{\log(4k+4)}{4k+4} - \frac{\log(4k+5)}{4k+5}\right) \\ &= \sum_{k=0}^\infty (3a_{4k+2} + 2a_{4k+3} + a_{4k+4}) \\ &= \sum_{k=1}^\infty a_{2k} + \sum_{k=0}^\infty 2(a_{4k+2} + a_{4k+3}). \tag{2} \end{align} $$
Kami mengamati selanjutnya $$2(a_{4k+2} + a_{4k+3}) = \frac{\log(4k+2)}{2k+1} - \frac{\log(4k+4)}{2k+2} = a_{2k+1} + \left(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+2}\right)\log 2.$$ Karenanya
$$\sum_{k=0}^\infty 2(a_{4k+2} + a_{4k+3}) = \sum_{k=0}^\infty a_{2k+1} + \log 2 \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \sum_{k=0}^\infty a_{2k+1} + \log^2 2. \tag{3}$$
Akhirnya, menempatkan $(1)$, $(2)$, dan $(3)$ bersama-sama menghasilkan hasil yang diinginkan: $$S = \log^2 2 + \sum_{k=1}^\infty a_{2k} + \sum_{k=0}^\infty a_{2k+1} = \log^2 2 + \sum_{k=1}^\infty a_k = \log^2 2.$$
Ini sebenarnya bukan jawaban, tapi terlalu panjang untuk dikomentari. Saya hanya ingin berbagi arah lain yang mungkin diambil seseorang untuk mengatasi masalah ini. Jumlah kami adalah$$S=\frac{3\ln( 2)}{2} -\frac{\ln( 3)}{3} -\frac{\ln( 4)}{4} -\frac{\ln( 5)}{5} +...$$ Namun, kami dapat mengelompokkan kembali istilah sebagai $$S=\left(\frac{\ln( 2)}{2} -\frac{\ln( 3)}{3}\right) +\left(\frac{\ln( 2)}{2} -\frac{\ln( 4)}{4}\right) +\left(\frac{\ln( 2)}{2} -\frac{\ln( 5)}{5}\right) +...$$ Begitu, $$S=\sum_{k=0}^\infty \left[\frac{\ln(4k+2)}{4k+2}-\frac{\ln(4k+3)}{4k+3}\right]+\sum_{k=0}^\infty \left[\frac{\ln(4k+2)}{4k+2}-\frac{\ln(4k+4)}{4k+4}\right]+\sum_{k=0}^\infty \left[\frac{\ln(4k+2)}{4k+2}-\frac{\ln(4k+5)}{4k+5}\right]$$ Namun, menggunakan hukum logaritma dan menggeser indeks kami mungkin menyatakan ini sebagai $$S=\ln\left(\prod_{k=1}^\infty \frac{(4k-2)^{4k-2}}{(4k-1)^{4k-1}}\right)+\ln\left(\prod_{k=1}^\infty \frac{(4k-2)^{4k-2}}{(4k)^{4k}}\right)+\ln\left(\prod_{k=1}^\infty \frac{(4k-2)^{4k-2}}{(4k+1)^{4k+1}}\right)$$ Hal yang rapi adalah bahwa semua produk ini pasti menyatu, karena semuanya monoton meningkat dan dibatasi dari atas oleh $1$. Produk ini mengingatkan saya pada produk yang cukup terkenal$$\prod_{n=1}^\infty \frac{n^{\frac{1}{n}}}{(n+1)^{\frac{1}{n+1}}}=1$$ Mungkin seseorang dapat mengatakan sesuatu yang berarti tentang produk dari formulir $$P(a,b,c)=\prod_{k=1}^\infty \frac{(ak+b)^{\frac{1}{ak+b}}}{(ak+c)^{\frac{1}{ak+c}}}$$ Saya cukup penasaran tentang ini.