Set terbuka yang berisi set tertutup

Question

Membiarkan $A,B$ jadilah 2 kumpulan tertutup yang terputus-putus dalam spce metrik $(X,d)$ saya tahu itu $A=\cap_{n\in \Bbb N}C_n$ dimana $C_n=\{x\in X:d(x,A)<1/n\}$ dan $B=\cap_{n\in \Bbb N}D_n$ dimana $D_n=\{x\in X:d(x,B)<1/n\}$.

Sepertinya benar $\exists n \in \Bbb N$ seperti yang $C_n\cap D_n=\emptyset$.

Ide saya adalah untuk mengandaikan tidak dan membangun urutan $x_n\in C_n\cap D_n\forall n\in \Bbb N$. Tetapi saya terjebak dalam menemukan kontradiksi.

Answer 1

Tidak, ini tidak benar. Ambil contoh$X = \mathbb R^2$ dilengkapi dengan metrik euclidean, $A=\{(x,0) \mid x \in \mathbb R\}$ dan $B = \{(x, 1/x) \mid x \neq 0\}$.

Ini benar jika salah satu subset seharusnya kompak.