Setara Topologi

Question

Apakah mungkin memiliki metrik yang secara topologis setara dengan urutan Cauchy yang berbeda? Apakah ada contoh nyata? Atau apakah mereka biasanya menghasilkan urutan Cauchy yang sama?

Answer 1

Di $\Bbb R$, metrik $d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$ mendefinisikan topologi yang sama di $\Bbb R$sebagai metrik standar. Dibawah$d$, urutan yang diberikan oleh $x_n=n$ adalah Cauchy, tetapi tentu saja tidak di bawah metrik standar.