Spektrum operator linier terbatas

Question

Saya sedang mengerjakan masalah berikut.

Membiarkan $(e_n)$ menjadi urutan ortonormal lengkap di ruang Hilbert $H$, dan biarkan $(\lambda_n)$menjadi urutan kompleks yang dibatasi. Membiarkan$T$ menjadi operator linier terbatas $H$ seperti yang $Te_n=\lambda_ne_n$ untuk setiap $n$. Temukan$\sigma(T)$, spektrum $T$.

Apa yang telah saya lakukan sejauh ini : Saya tahu jika$\lambda\in\sigma(T)$ kemudian $T-\lambda I$ tidak bisa dibalik.

Saya pikir begitu $\{\lambda_n\}_n\subset\sigma(T)$, karena $(T-\lambda_nI)e_n=Te_n-\lambda e_n=0$, yang berarti $e_n\in\ker(T-\lambda_n I)$, jadi $T-\lambda_n I$ bukan injeksi (yang berarti tidak bisa dibalik.)

Tapi saya tidak tahu apakah ada anggota lain dari $\sigma(T)$. Bantuan apa pun akan dihargai!

Answer 1

Sejak $\sigma (T)$ ditutup kita melihat bahwa penutupan $\{\lambda_n : n \geq 1\}$terkandung di dalamnya. Jika$\lambda $ bukan milik penutupan ini ada jarak positif $r$ dari $\lambda$ke set ini. Jadi$|\lambda-\lambda_n| \geq r$ untuk semua $n$. Saya akan membiarkan Anda memeriksa tat$T-\lambda I$ memiliki invers terikat dalam kasus ini jadi $\lambda$tidak bisa dalam spektrum. [Perhatikan bahwa ada rumus obviosu untuk kebalikan dari$T-\lambda I$]