Struktur matriks-M terbalik

Question

Saya mencoba mencari tahu struktur matriks-M (https://en.wikipedia.org/wiki/M-matrix) yang kebalikannya memiliki bentuk khusus: Let $A$ menjadi matriks-M terbalik (matriks-M invers adalah matriks yang inversnya adalah matriks-M, sehingga setiap jumlah baris matriks adalah konstanta tetap (lebih besar dari 1). Setiap entri diagonal benar-benar lebih besar dari semua off- entri diagonal dari baris itu sedemikian rupa $xa_{ii}\leq a_{ij}\leq ya_{ii}$ $\forall i\neq j$, dimana $0<x<y<1$. Saya mencoba untuk menunjukkan itu$A^{-1}$ akan memiliki entri diagonal positif kurang dari 1.

Sejauh ini, saya tidak dapat menemukan referensi apa pun tentang mengapa hasil seperti itu harus benar, tetapi saya juga tidak bisa mendapatkan contoh tandingan (saya mencoba contoh numerik). Secara intuitif, saya pikir itu akan menjadi kenyataan karena struktur khusus matriks, entri off-diagonal$A$berdekatan satu sama lain, sehingga kebalikannya akan memiliki struktur di atas untuk mengimbanginya. Ide atau saran apa pun akan sangat membantu.

Answer 1

Saya mendapat 2 contoh balasan:

1. Membiarkan $A= \begin{pmatrix}1.1 & 0.89\\0.89 & 1.1 \end{pmatrix}$, kemudian $A^{-1}=\begin{pmatrix} 2.6322 &-2.1297\\-2.1297 & 2.6322 \end{pmatrix}$.
   Sini$x=0.8, y=0.9$jadi, $(0.8)(1.1)\leq 0.89\leq (0.9)(1.1)$.
   
2. Membiarkan $A= \begin{pmatrix}5.1 & 4.9\\4.9 & 5.1 \end{pmatrix}$, kemudian $A^{-1}=\begin{pmatrix} 2.55 &-2.45\\-2.45 & 2.55 \end{pmatrix}$.
   Sini$x=0.94, y=0.98$jadi, $(0.94)(5.1)\leq 4.9\leq (0.98)(5.1)$.
   Jadi, saya kira intuisi tidak selalu berhasil dalam penelitian.