Temukan panjangnya $x$.

Question

Membiarkan $ABC$ menjadi segitiga siku-siku siku-siku di $B$. Bisectors sudut dari sudut$A$ dan $C$ digambar, memotong sisi berlawanan di $D$ dan $E$masing-masing. Mengingat bahwa$CD=12$ dan $AE=8$ temukan panjangnya $AC$ (yang diberikan sebagai $x$dalam pertanyaan). Selanjutnya, biarkan titik-titik di mana incircle bersinggungan dengan sisi$AB$ dan $BC$ menjadi $F$ dan $G$masing-masing. (Diagram diberikan di akhir pertanyaan)

Saya mencoba dua pendekatan:

Pendekatan 1: Saya mencoba menggunakan trigonometri untuk yang satu ini. Membiarkan$\angle BAO= \alpha$. Dan biarkan$r$ menjadi besarnya inradius segitiga $ABC$. Biarkan juga$EF=y$ dan $DG=z$. Lalu masuk$\triangle AGO$ dan $\triangle OEG$, $z=r \tan \alpha$ dan $z=\frac{r}{\tan \left(\frac{\pi}{4}-\alpha \right)} - 12 $. Menyisir keduanya, saya mendapatkan ini:

$$12=r \left( \frac{1}{\tan \left(\frac{\pi}{4}-\alpha \right)}- \tan \alpha \right) $$

Demikian pula di $\triangle AGO$ dan $\triangle OFD$ :

$$8= r \left( \dfrac{1}{\tan \alpha} - \tan \left( \frac{\pi}{4} - \alpha\right) \right)$$

Membagi kedua persamaan tersebut dan menyederhanakan dengan membiarkan $t=\tan \alpha$, Saya mendapatkan ekspresi berikut: $t^3+4t^2-2t+2=0$ yang memiliki solusi yang sangat mengerikan, jadi saya meninggalkannya.

Sunting : Saya benar-benar bodoh dan melakukan perhitungan yang salah: setelah membaginya disederhanakan menjadi$(2t-1)(t+3)=0$ setelah itu segera menyusul itu $x=24$.

Pendekatan 2 (tidak lengkap): Jadi alih-alih menggunakan trigonometri, saya mencoba menggunakan teknik dasar kali ini. Sejak$\triangle AFO \sim \triangle OGD$, kita mendapatkan $$\frac{r}{y}=\frac{z+12}{r} \implies r^2 = y(z+12)$$

Demikian pula $r^2=z(8+y)$. Menggabungkan keduanya, kita dapatkan$3y=2z$. Nilai dari$x=20+y+z$. Sekarang hanya jika saya bisa menemukan$y+z$pertanyaannya akan selesai. Adakah yang bisa memberi petunjuk atau bisa memberikan solusi yang lebih baik?

Diagram pertanyaan asli:

Diagram berlabel:

Answer 1

Membiarkan $BC=a$, $AB=c$ dan $a=tc$.

Jadi, sejak $\frac{cx}{x+a}=8$ dan $\frac{ax}{x+c}=12,$ kami memperoleh: $$\frac{a(x+a)}{c(x+c)}=\frac{3}{2}$$ atau $$\sqrt{a^2+c^2}(2a-3c)=3c^2-2a^2$$ atau $$\sqrt{t^2+1}(2t-3)=3-2t^2,$$ pemberian yang mana $$\sqrt{1.5}<t<1.5$$ Sekarang, setelah mengkuadratkan kami memperoleh: $$t(4t-3)(3t-4)=0,$$ pemberian yang mana $$t=\frac{4}{3},$$ $$a=\frac{4}{5}x$$ dan $$c=\frac{3}{5}x,$$ pemberian yang mana $x=24.$