Tensor product modulo general linear group

Question

Seharusnya $V_1$ dan $V_2$adalah ruang vektor berdimensi-hingga. Kemudian$GL(V_1)\times GL(V_2)$ bertindak $V_1\otimes V_2$, dan orbit di bawah aksi ini merupakan himpunan tensor pangkat tetap. Konsekuensinya adalah jumlah orbitnya$1+\min\{\dim(V_1),\dim(V_2)\}$.

Saya tertarik dengan apa yang terjadi jika kita memperluas dari dua ruang vektor menjadi tiga. Apa yang dapat dikatakan tentang set$GL(V_1)\times GL(V_2)\times GL(V_3)$ mengorbit $V_1\otimes V_2\otimes V_3$? Apakah ada banyak orbit yang tak terhingga?

Answer 1

Pertanyaan bagus! Ini bukan jawaban tapi agak terlalu panjang untuk dijadikan komentar. Saya sudah tidak tahu jawabannya ketika semua ruang vektor memiliki dimensi$2$yang sedikit mengejutkan saya. Setelah bermain-main dengan analog pengurangan baris ("reduksi bidang") untuk a$2 \times 2 \times 2$tensor Saya telah berhasil menurunkan semuanya ke keluarga satu parameter yang saya tidak tahu cara mengurangi lebih lanjut. Sungguh ini harus ditulis sebagai$2 \times 2 \times 2$ kubus tetapi sampai saya belajar bagaimana mengesetnya, inilah salah satu cara untuk menulisnya: beri nama spasi vektor $X, Y, Z$ dan beri mereka dasar $\{ x_1, x_2 \}, \{ y_1, y_2, \}, \{ z_1, z_2 \}$. Kemudian saya tidak tahu apakah keluarga tensor satu parameter

$$x_1 y_1 z_1 + x_2 y_1 z_2 + x_1 y_2 z_2 + t x_2 y_2 z_2$$

(dengan $\otimes$ditulis sebagai penggabungan untuk menyimpan notasi) terdiri dari elemen dalam orbit yang berbeda atau tidak. Ada yang tahu jawabannya dengan satu atau lain cara? Bentuk normal Kronecker untuk pensil matriks mungkin relevan tetapi saya belum memahaminya.