Teorema Cramer-Wold.

Question

Teorema (Cramer-Wold device): Distribusi acak $n$-vektor $X$ sepenuhnya ditentukan oleh himpunan semua distribusi satu dimensi dari kombinasi linier $t^TX$, dimana $t$ rentang di atas semua tetap $n$-vektor. $$$$ Bukti. $ Y: = t ^ TX $ memiliki fungsi karakteristik: $$ \ phi_Y (s): = E [e ^ {isY}] = E [e ^ {ist ^ TX}] $$ Jika kita mengetahui distribusi masing-masing $ Y $ , kita tahu CF $ \ phi_Y (s) $ . Khususnya, mengambil $ s = 1 $ , kita tahu $ E [e ^ {ist ^ TX}] $ . Tapi ini adalah CF $ X = (X_1, \ ldots, X_n) ^ T $ dievaluasi pada $ t = (t_1, \ ldots, t_n) ^ T $ . Tetapi ini menentukan distribusi $ X. $

Pertanyaan saya:

1. Jika $ s = 1 $ lalu apakah buktinya kehilangan keumuman? Kenapa tidak?
2. Interpretasi saya atas buktinya adalah jika kombinasi linier dari vektor dan vektor memiliki fungsi karakteristik yang sama maka distribusinya sama. Apakah interpretasi ini benar? 3) Apa arti 'sepenuhnya ditentukan' dalam teorema?

Answer 1

• Saya tidak mengerti apa yang Anda maksud dengan "kehilangan sifat umum" dalam pertanyaan pertama Anda. Satu-satunya "umum" dalam bukti yang menurut saya penting adalah bahwa itu harus berhasil untuk semua orang$\ n$-vektor dan untuk apapun $\ n\ $, yang dilakukannya. Puting$\ s=1\ $ hanyalah satu langkah dalam pembuktian, langkah yang dapat Anda ambil secara sah terlepas dari apa nilainya $\ n\ $ dan $\ X\ $ adalah, jadi tidak ada batasan apa pun pada mereka.

• Sebuah vektor tidak sama dengan kombinasi linier dari entri-entri nya (kecuali vektor, $\ X\ $ aku s $1$-dimensi dan kombinasi linier $\ 1\cdot X\ $), yang harus berupa skalar. Jadi baik distribusi maupun fungsi karakteristik vektor acak tidak dapat sama dengan kombinasi linier dari entri vektor acak tersebut. Distribusi acak$\ n$-vektor serta fungsi karakteristiknya akan menjadi fungsi $\ n\ $variabel, sedangkan distribusi dan fungsi karakteristik dari kombinasi linier tertentu dari entri vektor acak akan menjadi fungsi dari satu variabel saja.

  Poin kunci dalam perangkat Cramer-Wold adalah Anda diharuskan untuk mengetahui distribusi satu dimensi bukan hanya beberapa kombinasi linier tertentu dari entri vektor acak, tetapi dari setiap kombinasi linier tersebut, dan ini memungkinkan Anda untuk menyimpulkan acak. distribusi vektor, fungsi dari banyak variabel, dari keluarga fungsi tak terbatas dari satu variabel.