Teorema Noether Umum

Question

Teks yang saya baca mengklaim bahwa jika ada simetri yang dihasilkan oleh $Q$, dan di bawah transformasi ini, operator diubah oleh$$f\rightarrow f +\delta f,$$ kemudian dengan teorema Noether $$\delta f = i\epsilon[Q, f].$$

Namun, ini bukan teorema Noether yang biasa saya gunakan, yang menurut saya mirip dengan pernyataan ini, tetapi hanya untuk terjemahan waktu (dengan generator $H$). Bagaimana cara menunjukkan generalisasi teorema Noether ini?

Answer 1

Ini sepertinya bukan pernyataan teorema Noether, tetapi konsekuensi dari persamaan gerak Liouville: $$ \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + i \{Q, f\} $$ Dimana $\{,\}$-menunjukkan braket Poisson. Biasanya, Anda akan melihat Hamiltonian$H$ dari pada $Q$. Namun, biaya apa pun dapat diperlakukan dengan cara yang sama seperti Hamiltionian. Dan untuk yang kecil$\epsilon$, dan $f$ tidak bergantung secara eksplisit pada waktu, ini memberikan: $$ \delta f = i \epsilon \{Q, f\} $$ Seperti yang diklaim

Answer 2

Saya pikir Anda mungkin ingin melihatnya

Baez, JC (2020). Mendapatkan ke Dasar Teorema Noether. arXiv pracetak arXiv: 2006.14741.

di mana saya yakin dia membahas versi teorema Noether yang diutarakan seperti ini di Bagian 2.

Pada halaman 15 secara khusus membahas versi dari teorema Noether yang dinyatakan sebagai tanda kurung Poisson dari dua hal menjadi nol. Anda belum menentukan$\epsilon$ di atas, tapi saya pikir mungkin itu adalah bagian dari kalkulus notasi yang Anda gunakan (dan sampai saat ini saya masih mengabaikannya), dan mungkin setara dengan apa yang tertulis di artikel Baez.

Faktanya, perbedaan antara keduanya mengingatkan saya pada sesuatu yang saya baca baru-baru ini di solusi ini tentang pemikiran penurunan (baris terakhir tepat sebelum baris Bukti [1]), yang mungkin menjelaskan transisi.