Turunan parsial implisit

Question

Katakanlah saya punya fungsi $F(P,V,T) = 0 $. Menggunakan aturan rantai:$$dF = \frac{\partial F}{\partial P}dP + \frac{\partial F}{\partial V}dV + \frac{\partial F}{\partial T}dT$$ Sekarang, jika P konstan, kita punya $dP = 0$ dan $dF = 0$ tentu saja karena $F$adalah konstanta (0). Kita mendapatkan:$$dF = \frac{\partial F}{\partial V}dV + \frac{\partial F}{\partial T}dT = 0 \implies (\frac{dV}{dT})_P = - \frac{\frac{\partial F}{\partial T}} {\frac{\partial F}{\partial V}}$$Dan itu benar secara umum? Koreksi saya jika saya salah. Sekarang, jika kita memiliki ekspresi eksplisit untuk$P(T,V)$ kita juga bisa mengatakan untuk konstanta P: $$ (\frac{dV}{dT})_P = - \frac{\frac{\partial P}{\partial T}} {\frac{\partial P}{\partial V}}$$ TAPI hasilnya tidak selalu sama, mengapa demikian? Apakah P, V, dan T harus independen satu sama lain agar derivasi pertama bisa benar? Saya benar-benar bingung dan akan senang untuk penjelasan tanpa terlalu ketat.

Edit: Contoh (dari fisika):

Mengatakan:$$F(P,V,T)=PV-PNb+\frac{aN^{2}}{V}-\frac{aN^{3}b}{V^{2}}-Nk_{B}T=0$$

Kita bisa memecahkan P:

$$P = N\left(\frac{K_{B}T}{V-Nb}-\frac{aN}{V^{2}}\right)$$

Kami sekarang mendapatkan: $$- \frac{\frac{\partial F}{\partial T}} {\frac{\partial F}{\partial V}} \neq - \frac{\frac{\partial P}{\partial T}} {\frac{\partial P}{\partial V}} $$

Answer 1

Jawaban singkat

Mereka adalah sama, termasuk dalam contoh Anda. Anda salah melakukan aljabar atau lupa satu langkah kunci di akhir.

Jawaban panjang

Ya, pikiran Anda benar. Jika Anda bisa menulis$P$ sebagai fungsi, lalu untuk konstanta $P$ memuaskan $F(P,V,T)=0$, Kita lakukan memiliki$\dfrac{\mathrm dV}{\mathrm dT}=-\dfrac{\frac{\partial P}{\partial T}}{\frac{\partial P}{\partial V}}=-\dfrac{\frac{\partial F}{\partial T}}{\frac{\partial F}{\partial V}}$.

Contoh Kasus

Dalam contoh khusus Anda, $F(P,V,T)=PV-PNb+\frac{aN^{2}}{V}-\frac{aN^{3}b}{V^{2}}-Nk_{B}T=0$ kita memang bisa menyelesaikannya $P$ mencari $P=N\left(\dfrac{k_{B}T}{V-Nb}-\dfrac{aN}{V^{2}}\right)$.

Kemudian kita bisa menghitung dua pecahan. Untuk$-\dfrac{\frac{\partial P}{\partial T}}{\frac{\partial P}{\partial V}}$, kami mendapatkan sesuatu seperti $\dfrac{k_B(V-Nb)V^3}{k_BTV^3-2aN(V-Nb)^2}$. Tapi untuk$-\dfrac{\frac{\partial F}{\partial T}}{\frac{\partial F}{\partial V}}$ kami mendapatkan sesuatu seperti $\dfrac{k_BNV^3}{aN^2(2Nb-V)+PV^3}$, yang terlihat berbeda. Tetapi kita harus ingat untuk mengganti nilai konstanta$P$ dari $P=N\left(\dfrac{k_{B}T}{V-Nb}-\dfrac{aN}{V^{2}}\right)$. Lalu kita dapatkan$\dfrac{k_BNV^3}{aN^2(2Nb-V)+N\left(\dfrac{k_{B}T}{V-Nb}-\dfrac{aN}{V^{2}}\right)V^3}$, yang menyederhanakan menjadi sama $\dfrac{k_B(V-Nb)V^3}{k_BTV^3-2aN(V-Nb)^2}$.

Anda dapat memverifikasi perhitungan dengan kode Wolfram / Mathematica:

Bahasa Wolfram (Mathematica) , 458 byte

Print[Simplify[Solve[P*V - P*N*b + a*N*N/V - a*N*N*N*b/(V*V) - N*kB*T == 0, P]]]
Print[Simplify[-D[N (-((kB T)/(b N - V)) - (a N)/V^2), T]/D[N (-((kB T)/(b N - V)) - (a N)/V^2), V]]]
Print[Simplify[-D[P*V - P*N*b + a*N*N/V - a*N*N*N*b/(V*V) - N*kB*T, T]/D[P*V - P*N*b + a*N*N/V - a*N*N*N*b/(V*V) - N*kB*T, V]]]
Print["Why Not the same? Substitute in for P."]
Print[Simplify[(kB N V^3)/(a N^2 (2 b N - V) + P V^3) /. P -> N (-((kB T)/(b N - V)) - (a N)/V^2)]]

Cobalah secara online!