Turunkan deret pangkat

Question

Saya Ingin menemukan fungsi yang diwakili oleh $\sum_{k=1}^{\infty} k^2z^k$.

Inilah yang telah saya lakukan sejauh ini:

dimulai dengan $\sum_{k=1}^{\infty}z^k = \frac{z}{1-z}$sebagai definisi deret geometris. Kemudian kita dapat mengambil turunan dari deret tersebut dan mengalikannya dengan z menghasilkan$\sum_{k=1}^{\infty}kz^k = \frac{z}{(1-z)^2}$. Mengulangi proses ini kami dapatkan$\sum_{k=1}^{\infty}k^2z^k = \frac{z}{(1-z)^2} + \frac{2z^2}{(1-z)^3}$.

Apakah indeks harus berubah ketika kita mengintegrasikan ini, atau apakah ini solusi terakhir dan tidak ada yang berubah?

Answer 1

Ada cara untuk menghindari pertanyaan tentang pengindeksan ulang ini.

Saya akan membuatnya sedikit lebih sulit dengan $\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k$.

Menulis $$k^3=k(k-1)(k-2)+a k(k-1)+b k +c$$ artinya $$c+k (-a+b+2)+(a-3) k^2=0$$ dari mana $a=3$, $b=1$ dan $c=0$. Begitu$$\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k=\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)(k-2)z^k+3\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)z^k+\sum_{k=1}^{\infty}kz^k$$ yang bisa menulis $$\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k=z^3\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)(k-2)z^{k-3}+3z^2\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)z^{k-2}+z\sum_{k=1}^{\infty}kz^{k-1}$$ artinya $$\sum_{k=1}^{\infty} k^3z^k=z^3\left(\sum_{k=1}^{\infty}z^k\right)'''+3z^2\left(\sum_{k=1}^{\infty}z^k\right)''+z\left(\sum_{k=1}^{\infty}z^k\right)'$$