Urutan integer A178157

Question

http://oeis.org/A178157

A178157 adalah urutan bilangan yang menjelaskan bilangan yang habis dibagi oleh semua awalannya. Misalnya, 2020 ada dalam urutan karena 2020 habis dibagi 2, 20, dan 202, (dan 2020). Namun, saya perhatikan setelah 100, semua angka dalam urutan diakhiri dengan nol. Jadi pertanyaan saya adalah, apakah ada angka berurutan A178157 yang lebih besar dari 100 yang tidak diakhiri dengan nol?

Kemajuan saya sendiri:

Seorang teman saya menulis kode dan memeriksa semua angka hingga 100 juta tanpa hasil. Adakah bukti bahwa semua angka yang lebih besar dari 100 dalam urutan ini harus diakhiri dengan nol?

Satu-satunya petunjuk yang dapat saya pikirkan untuk mencoba membuktikannya adalah bahwa bilangan tersebut tidak boleh mengandung nol karena akan ada sufiks yang berakhiran nol.

Yang cukup menarik, ada deret yang serupa, A178158, yang melihat sufiks alih-alih awalan, dan ada banyak bilangan besar dalam deret yang tidak mengandung nol, misalnya 53125 habis dibagi 5, 25, 125, 3125 , (dan 53125). Tidak ada angka dalam urutan ini yang berakhiran nol, yang jauh lebih mudah dibuktikan, karena awalan pertamanya adalah nol dan Anda tidak dapat membaginya dengan nol.

Answer 1

Jawabannya adalah angka tiga digit atau lebih harus diakhiri $0.$

Jika $n\geq 10$ lalu untuk $10n+d$ untuk habis dibagi $n,$ kamu harus punya $d$ habis dibagi $n.$ Tapi jika $d$ adalah sebuah digit $0\leq d<10\leq n,$ jadi satu-satunya yang mungkin $d$ aku s $0.$

Argumen ini bisa diterapkan di semua basis.

---

Seperti yang Ross sebutkan dalam komentar, jika nomornya punya $2k+1,$ atau lebih banyak digit, itu harus diakhiri $k$ nol.

Ini bisa dilihat dengan argumen serupa, atau menggunakan basis $10^k,$ mencatat bahwa setiap nomor yang memenuhi properti untuk basis $10$ juga merupakan angka untuk basis $10^k,$ dan nomor dengan $2k+1$ atau lebih digit di basis $10$ aku s $3$ atau lebih digit di basis $10^k.$

---

Tidak terkait dengan pertanyaan, tetapi mengingat nomor seperti itu, kita tidak hanya dapat menambahkan angka nol di akhir, tetapi juga dapat menambahkan angka nol tepat sebelum digit bukan nol terakhir. Artinya, jika$$n=d_1d_2d_3\dots d_k\underbrace{0\dots0}_{p\text{ times}}$$ maka kita dapat menemukan bilangan bukan nol dari $0$ untuk menambahkan di antara $d_{k-1}$ dan $d_k.$

Secara khusus, $$n_1=d_1\dots d_{k-1}\underbrace{0\dots 0}_{m\text{ times}} d_k$$ kemudian $$10^{m+1}n-n_1=d_k(10^{m+1}-1)\cdot 10^p$$

Sekarang, jika $f(N)$ adalah jumlah $N$ dengan semua faktor $2$ dan $5$ dihapus, Anda dapat menentukan $$D=\operatorname{lcm}\left(f(d_1),f(d_1d_2),\cdots,f(d_1d_2\dots d_{k-1})\right)$$

Kemudian Anda bisa mendefinisikan $m$ menjadi salah satu urutan yang kurang $10$ modulo $D.$

Misalnya dengan $n=14490000$ kamu punya $$\operatorname{lcm}\left(f(1),f(14),f(144)\right)=\operatorname{lcm}(1,7,9)=63.$$

Urutan $10$ mod $9$ aku s $1,$ jadi Anda hanya perlu urutan $10$ mod $7,$ dan itu adalah $6$, dan $m$ aku s $5.$ Kemudian:

$$144000009\cdot 10^9$$

Anda juga harus mengisi sisi kanan dengan angka nol.