vektor eigen dan kebebasan linier

Question

Saya tahu jika kita memiliki vektor eigen $v_1....v_r$ yang sesuai dengan nilai eigen yang berbeda $λ_1....λ_r$ dari sebuah $n$ x $n$ matriks, lalu {$v_1....v_r$} independen linier.

Tetapi apakah mungkin untuk memilikinya $a_1$ vektor eigen independen linier yang sesuai dengan $λ_1$, $a_2$ vektor eigen independen linier yang sesuai dengan $λ_2$... $a_p$ vektor eigen independen linier yang sesuai dengan $λ_n$, dan kumpulan semuanya $r$ vektor eigen di mana $r=a_1+a_2+...+a_p$ bergantung secara linier?

Misalnya: pertimbangkan a $3x3$matriks. Bayangkan kita memiliki satu vektor (sebut saja$v_1$) membentuk dasar ruang eigen dari satu nilai eigen, tetapi dua vektor (sebutlah $v_2$ dan $v_3$) membentuk dasar untuk nilai eigen yang berbeda. apakah kami menjamin bahwa {$v_1,v_2,v_3$} independen linier?

Answer 1

Misalkan 𝔽 adalah bidang apa saja. Misalnya, bisa jadi ℝ atau ℂ. Seharusnya$M$adalah matriks n × n 𝔽. Seharusnya$\lambda_1, \dots, \lambda_r$ adalah daftar nilai eigen yang berbeda dari $M$.

Seharusnya:

• $v_{1, 1}, \dots, v_{1, k_1}$ adalah daftar vektor eigen yang bebas linear dari $M$ sesuai dengan $\lambda_1$.
• $v_{2, 1}, \dots, v_{2, k_2}$ adalah daftar vektor eigen yang bebas linear dari $M$ sesuai dengan $\lambda_2$.
• $\vdots$
• $v_{r, 1}, \dots, v_{r, k_r}$ adalah daftar vektor eigen yang bebas linear dari $M$ sesuai dengan $\lambda_r$.

Seharusnya $\alpha_{1, 1}, \dots, \alpha_{1, k_1}, \alpha_{2, 1}, \dots, \alpha_{2, k_2}, \dots, \alpha_{r,1}, \dots, \alpha_{r, k_r} \in \mathbb{F}$ adalah skalar seperti itu $$(\alpha_{1, 1} v_{1,1} + \dots + \alpha_{1, k_1} v_{1, k_1}) + (\alpha_{2, 1} v_{2,1} + \dots + \alpha_{2, k_2} v_{2, k_2}) + \dots + (\alpha_{r,1} v_{r,1} + \dots + \alpha_{r, k_r} v_{r, k_r}) = 0.$$

Menetapkan $u_1 = (\alpha_{1, 1} v_{1,1} + \dots + \alpha_{1, k_1} v_{1, k_1}), \dots, u_r=(\alpha_{r,1} v_{r,1} + \dots + \alpha_{r, k_r} v_{r, k_r})$.

Jelas, $u_1$ adalah vektor nol atau a $\lambda_1$-eigenvector dari $M$. Secara analitis,$u_2$ adalah vektor nol atau a $\lambda_2$-eigenvector dari $M$. Dan seterusnya$u_3, \dots, u_r$.

Dengan teorema Anda mengatakan Anda tahu, itu pasti kasus untuk masing-masing $i \in \{1, \dots, r\}$, $u_i$sebenarnya adalah vektor nol. Tapi kemudian untuk masing-masing$i \in \{1, \dots, r\}$, semua koefisien $\alpha_{i,1}, \dots, \alpha_{i, k_i}$ harus nol, karena vektor $v_{i,1}, \dots, v_{i, k_i}$ independen linier.

Kami telah menunjukkan bahwa setiap kombinasi linier $v_{1, 1}, \dots, v_{1, k_1}, \dots, v_{r, 1}, \dots, v_{r, k_r}$sama dengan nol sebenarnya harus merupakan kombinasi trivial (yaitu, dengan semua koefisien nol). ∎