Volume piramida berbasis poligon

Question

Saya membaca di sebuah buku beberapa bulan yang lalu bahwa volume piramida (padat) dengan alas yang merupakan poligon APA PUN (saya tidak yakin apakah itu disebutkan biasa atau tidak) sama dengan $$\frac{1}{3}\times A\times h$$ dimana $A$ adalah luas alas (yaitu poligon) dan $h$ adalah ketinggian piramida.

Hal ini tampaknya benar dalam banyak kasus, seperti jika alasnya persegi, segitiga, dan jika alasnya adalah lingkaran (yaitu piramida menjadi kerucut).

Pertanyaan saya adalah, bagaimana kita bisa membuktikannya? Saya benar-benar tidak tahu.

Terima kasih untuk bantuannya.

Answer 1

Poligon apapun dapat diuraikan menjadi segitiga, memberi $A = A_1 + \cdots + A_n$.

Jadi, $$\begin{align} V &= V_1 + \cdots + V_n\\ &=\frac13A_1h + \cdots + \frac13A_nh\\ &=\frac13(A_1 + \cdots + A_n)h\\ &=\frac13Ah. \end{align}$$

---

Untuk kasus dasar, Anda dapat menguraikan prisma seperti itu. Untuk melihat bahwa ketiga piramida memiliki volume yang sama, perhatikan bahwa piramida kiri dan tengah berbagi dasar biru dan memiliki tinggi yang sama; Demikian pula, piramida tengah dan kanan berbagi dasar merah dan memiliki ketinggian yang sama.

Answer 2

Untuk kasus paling umum di mana alasnya bahkan tidak perlu berupa poligon, ini adalah penerapan Prinsip Cavalieri . Bayangkan sebuah piramida dengan alas berbentuk gumpalan dan limas persegi di sebelahnya dengan tinggi yang sama dan alasnya memiliki luas yang sama dengan piramida pertama. Karena setiap tingkat penampang kedua piramida harus memiliki luas yang sama, volumenya juga harus sama.

Ada gambar luar biasa yang menunjukkan bahwa luas limas persegi yang tingginya sama dengan ukuran alasnya dan yang puncaknya berada di atas salah satu sudut alasnya adalah 1/3 volume kubus satuan. Singkat cerita, Anda dapat membangun tiga piramida tersebut dan melihat bahwa mereka dapat disatukan untuk membentuk kubus satuan. Dari situ, satu-satunya langkah yang tersisa adalah meyakinkan diri sendiri bahwa volume limas yang alasnya berbentuk persegi berbanding lurus dengan tinggi limas. Pada titik itu, Anda telah membuktikannya dari limas persegi satuan dengan tinggi satuan ke piramida persegi satuan dengan tinggi sembarang ke alas sembarang dan tinggi sembarang.