Waktunya Big Crunch

Question

Untuk alam semesta yang datar, memiliki materi dan konstanta kosmologis, kita dapat menuliskan persamaan Friedmann sebagai berikut:

$$\frac{H^{2}}{H^{2}_{0}} = \frac{\Omega_{m,0}}{a^{3}} + (1 - \Omega_{m,0})$$

Saya memahami bahwa jika suku kedua negatif ($\Omega_{m,0}>1$) maka nasib terakhir alam semesta adalah ia akan runtuh lagi dalam Big Crunch!

Saya mengerti bahwa saya dapat menghitung nilai maksimum dari faktor skala $H^{2}=0$ dan saya dapat menulis ulang persamaan di atas sebagai ODE hanya dengan beberapa aljabar untuk memiliki ekspresi berikut:

$$ H_{0}t = \int_{0}^{a} \frac{da}{(\Omega_{m,0}/a + (1 - \Omega_{m,0})a^{2})^{1/2}}$$

yang menghubungkan waktu kosmik dengan faktor skala $a$. Pertanyaan saya kemudian adalah sebagai berikut: Bagaimana cara menghitung waktu Big Crunch, (misalnya waktu yang akan kita miliki lagi$a=0$?

Saya berpikir tentang itu menjadi dua kali integral di atas dengan batas atas menjadi $a$ yang kita miliki $H(t) = 0$, tapi itu tidak masuk akal bagiku. Juga, Pengantar kosmologi oleh Barbara Ryden mengatakan bahwa waktu yang saya cari adalah (persamaan 5.98):

$$ t_\text{crunch} = \frac{2\pi}{3H_{0}}\frac{1}{(\Omega_{m,0}-1)^{1/2}}$$

Apa yang menurut saya menunjukkan bahwa saya mencoba pendekatan yang salah. Bisakah seseorang membantu saya? Bagaimana saya bisa menemukan persamaan di atas?

Answer 1

Integral itu memiliki solusi bentuk tertutup, $$H_0 t = \frac{2 \sinh^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-Ω_{m,0}}{Ω_{m,0}}}\,a^{3/2}\right)}{3 \sqrt{1-Ω_{m,0}}} = \frac{2 \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{Ω_{m,0}-1}{Ω_{m,0}}}\,a^{3/2}\right)}{3 \sqrt{Ω_{m,0}-1}}.$$

Untuk alam semesta yang runtuh, ini memberi Anda hanya setengah evolusi yang berkembang, yang berakhir ketika busur mencapai nilai maksimumnya $π/2$. Oleh karena itu, total usia adalah$2 \frac{2 (π/2)}{3 \sqrt{Ω_{m,0}-1}}/H_0$.