weakly continuous vs weakly sequentially continuous operator

Question

Saya membaca beberapa makalah di mana kondisi kontinuitas sekuensial yang lemah sangat penting, dan pertanyaan ini muncul di benak saya:

Mengapa lebih menarik menggunakan kondisi ini daripada kontinuitas lemah klasik?

Konteks:

• $T$ antara ruang Banach X dan dirinya sendiri.
• $T$ secara berurutan lemah jika ada $(x_n)_{n\in \mathbb N}$, $x_n \stackrel{w}{\rightharpoonup}x$ di $X$ $\Rightarrow$ $T(x_n) \stackrel{w}{\rightharpoonup } T( x )$ di $X$).

Answer 1

Teorema . Membiarkan$X$ dan $Y$ menjadi ruang vektor bernorma dan biarkan $T:X\to Y$menjadi peta linier. Maka yang berikut ini setara:

1. $T$ berkelanjutan,
2. $T$ lemah terus menerus,
3. $T$ secara berurutan lemah terus menerus,
4. Untuk setiap urutan $\{x_n\}_{n\in {\bf N}}$ di $X$ yang konvergen lemah ke $0$, seseorang dapat menemukan urutan konvergen yang lemah $\{T(x_{n_k})\}_{k\in {\bf N}}$.

Bukti . Implikasi (1)$\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (4) itu sepele, jadi mari kita buktikan bahwa (4) $\Rightarrow$(1). Berdebat dengan kontradiksi menganggap itu$T$ tidak kontinu, karenanya tidak terikat pada bola satuan $X$. Jadi kita bisa menemukan urutannya$\{y_n\}_{n\in {\bf N}}$ di bola itu seperti itu $\Vert T(y_n)\Vert >n^2$, untuk setiap $n$. Pengaturan $x_n=y_n/n$, kami punya itu $x_n\to 0$ dalam norma, begitu juga lemah, sementara $$ \Vert T(x_n)\Vert = {1\over n} \Vert T(y_n)\Vert > {1\over n}n^2 = n, $$ jadi tidak ada selanjutnya $\{T(x_n)\}_{n\in {\bf N}}$konvergen lemah karena urutan konvergen lemah dibatasi (oleh akibat terkenal dari prinsip batasan seragam). Ini bertentangan (4), jadi buktinya lengkap. QED