존재한다는 것을 보여줘 $x_0$ 그런 $p(x_0) < q(x_0)$ 주어진 다항식에 대해

Question

만약 $p(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ 과 $q(x) = x^2+px+q$실수 계수를 갖는 두 개의 다항식이됩니다. 간격이 있다고 가정합니다.$(r,s)$ 2보다 큰 길이의 $p(x)$ 과 $q(x)$ 부정적이다 $x \in (r,s)$ 둘 다 긍정적입니다 $x<r$ 또는 $x>s$. 존재한다는 것을 보여줘$x_0$ 그런 $p(x_0) < q(x_0)$

이후 $q(x)$ 2 차이므로 $r$ 과 $s$ 뿌리가되어야합니다.

그러나, $r$ 과 $s$ 또한 뿌리입니다 $p(x)$ 그래서, $q(x)$ 의 요인이어야합니다 $p(x)$따라서

$p(x) = q(x)g(x)$

어디 $g(x)$또한 2 차입니다. 그러나 그것은 내가 얻을 수있는 한입니다. 여기서 어떻게 진행합니까? 조건을 어떻게 사용합니까?$s-r > 2$?

어떤 도움을 주시면 감사하겠습니다.

Answer 1

$r$ 과 $s$ 둘 다의 뿌리이다 $p(x)$ 과 $q(x)$ 따라서 그것은 또한 뿌리입니다 $p(x) - q(x)$.

$q(x) = (x-r)(x-s)$ 어디 $|r - s| \gt 2$

$p(x) - q(x) = q(x)f(x)$

가정하자 $p(x) - q(x)$ 항상 음수가 아니지만 그 뿌리가 주어지면 $r$ 과 $s$, 다음 경우에만 가능합니다. $f(x)$ 언제나 부정적이다 $q(x)$ 이고 $f(x)$ 언제나 긍정적이다 $q(x)$ 이다.

즉, $r$ 과 $s$ 즉 $p(x) - q(x) = (x-r)^2(x-s)^2$

즉 $p(x) - q(x) = q(x)^2$

즉 $p(x) = q(x)(q(x)+1)$

즉 $1+q(x) \gt 0$ 같이 $p(x)$ 과 $q(x)$ 전혀 같은 부호를 가지고있다 $x$.

즉 $x^2-(r+s)x+(rs+1) \gt 0$

이것은 판별 자로서 사실 일 수 없습니다. $(r-s)^2 - 4 \gt 0$문제에서 주어진대로. 따라서 x의 값이 있습니다.$p(x) \lt q(x)$.

[참고 : 기능 $ax^2+bx+c$ 구별되는 경우 두 개의 실제 뿌리가 있습니다. $b^2-4ac \gt 0$]