Estatísticas - modelo Black-Scholes

O modelo Black Scholes é um modelo matemático para verificar a variação de preços ao longo do tempo de instrumentos financeiros, como ações, que pode ser usado para calcular o preço de uma opção de compra europeia. Este modelo pressupõe que o preço dos ativos fortemente negociados segue um movimento browniano geométrico com uma deriva e volatilidade constantes. No caso de opção de compra de ações, o modelo Black Scholes incorpora a variação constante do preço da ação objeto, o valor do dinheiro no tempo, o preço de exercício da opção e seu prazo de vencimento.

O modelo Black Scholes foi desenvolvido em 1973 por Fisher Black, Robert Merton e Myron Scholes e ainda é amplamente utilizado nos mercados financeiros euporianos. Ele fornece uma das melhores maneiras de determinar preços justos de opções.

Entradas

O modelo Black Scholes requer cinco entradas.

Preço de exercício de uma opção
Preço de estoque atual
Hora de expirar
Taxa livre de risco
Volatility

Suposições

O modelo de Black Scholes assume os seguintes pontos.

Os preços das ações seguem uma distribuição lognormal.
Os preços dos ativos não podem ser negativos.
Sem custo de transação ou imposto.
A taxa de juros livre de risco é constante para todos os vencimentos.
A venda a descoberto de títulos com uso de recursos é permitida.
Nenhuma oportunidade de arbitragem sem risco presente.

Fórmula

$ {C = SN (d_1) - Ke ^ {- rT} Nd_2 \\ [7pt] \, P = Ke ^ {- rT} N (-d_2) - SN (-d_1) \\ [7pt] \, onde \\ [7pt] \, d_1 = \ frac {1} {{\ sigma \ sqrt T}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r + \ frac {\ sigma ^ 2} {2} T)] \\ [7pt] \, d_2 = d_1 - \ sigma \ sqrt T} $

Onde -

$ {C} $ = Valor da opção de compra.
$ {P} $ = Valor da Opção de Venda.
$ {S} $ = Preço da ação.
$ {K} $ = preço de exercício.
$ {r} $ = taxa de juros livre de risco.
$ {T} $ = Tempo para o vencimento.
$ {\ sigma} $ = Volatilidade anualizada.

Limitações

O modelo Black Scholes tem as seguintes limitações.

Aplicável apenas às opções europeias, uma vez que as opções americanas podem ser exercidas antes do seu vencimento.
Dividendos constantes e taxas livres de risco constantes podem não ser relísticos.
A volatilidade pode flutuar com o nível de oferta e demanda de opção, portanto, ser constante pode não ser verdade.