Estatísticas - Estimativa de intervalo

A estimativa de intervalo é o uso de dados de amostra para calcular um intervalo de valores possíveis (ou prováveis) de um parâmetro de população desconhecido, em contraste com a estimativa de ponto, que é um único número.

Fórmula

$ {\ mu = \ bar x \ pm Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

Onde -

$ {\ bar x} $ = média
$ {Z _ {\ frac {\ alpha} {2}}} $ = o coeficiente de confiança
$ {\ alpha} $ = nível de confiança
$ {\ sigma} $ = desvio padrão
$ {n} $ = tamanho da amostra

Exemplo

Problem Statement:

Suponha que um aluno medindo a temperatura de ebulição de um determinado líquido observe as leituras (em graus Celsius) 102,5, 101,7, 103,1, 100,9, 100,5 e 102,2 em 6 amostras diferentes do líquido. Ele calcula a média da amostra em 101,82. Se ele sabe que o desvio padrão para esse procedimento é de 1,2 grau, qual é a estimativa do intervalo para a média da população em um nível de confiança de 95%?

Solution:

O aluno calculou a média da amostra das temperaturas de ebulição em 101,82, com desvio padrão $ {\ sigma = 0,49} $. O valor crítico para um intervalo de confiança de 95% é 1,96, onde $ {\ frac {1-0,95} {2} = 0,025} $. Um intervalo de confiança de 95% para a média desconhecida.

$ {= ((101,82 - (1,96 \ vezes 0,49)), (101,82 + (1,96 \ vezes 0,49))) \\ [7pt] \ = (101,82 - 0,96, 101,82 + 0,96) \\ [7pt] \ = ( 100,86, 102,78)} $

À medida que o nível de confiança diminui, o tamanho do intervalo correspondente diminui. Suponha que o aluno esteja interessado em um intervalo de confiança de 90% para a temperatura de ebulição. Nesse caso, $ {\ sigma = 0,90} $ e $ {\ frac {1-0,90} {2} = 0,05} $. O valor crítico para este nível é igual a 1,645, então o intervalo de confiança de 90% é

$ {= ((101,82 - (1,645 \ vezes 0,49)), (101,82 + (1,645 \ vezes 0,49))) \\ [7pt] \ = (101,82 - 0,81, 101,82 + 0,81) \\ [7pt] \ = ( 101,01, 102,63)} $

Um aumento no tamanho da amostra diminuirá a duração do intervalo de confiança sem reduzir o nível de confiança. Isso ocorre porque o desvio padrão diminui à medida que n aumenta.

Margem de erro

A margem de erro $ {m} $ da estimativa do intervalo é definida como o valor adicionado ou subtraído da média da amostra que determina a duração do intervalo:

$ {Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

Suponha que no exemplo acima, o aluno deseja ter uma margem de erro igual a 0,5 com 95% de confiança. Substituindo os valores apropriados na expressão para $ {m} $ e resolvendo para n fornece o cálculo.

$ {n = {(1,96 \ vezes \ frac {1,2} {0,5})} ^ 2 \\ [7pt] \ = {\ frac {2,35} {0,5} ^ 2} \\ [7pt] \ = {(4,7 )} ^ 2 \ = 22,09} $

Para atingir a estimativa de intervalo de 95% para o ponto de ebulição médio com comprimento total menor que 1 grau, o aluno terá que fazer 23 medições.