Estatísticas - Distribuição Multinomial

Um experimento multinomial é um experimento estatístico e consiste em n tentativas repetidas. Cada tentativa tem um número discreto de resultados possíveis. Em qualquer tentativa, a probabilidade de que um determinado resultado ocorra é constante.

Fórmula

$ {P_r = \ frac {n!} {(N_1!) (N_2!) ... (n_x!)} {P_1} ^ {n_1} {P_2} ^ {n_2} ... {P_x} ^ {n_x }} $

Onde -

$ {n} $ = número de eventos
$ {n_1} $ = número de resultados, evento 1
$ {n_2} $ = número de resultados, evento 2
$ {n_x} $ = número de resultados, evento x
$ {P_1} $ = probabilidade de que o evento 1 aconteça
$ {P_2} $ = probabilidade de que o evento 2 aconteça
$ {P_x} $ = probabilidade de que o evento x aconteça

Exemplo

Problem Statement:

Três jogadores de cartas jogam uma série de partidas. A probabilidade de que o jogador A ganhe qualquer jogo é de 20%, a probabilidade de que o jogador B ganhe é de 30% e a probabilidade de que o jogador C ganhe é de 50%. Se eles jogarem 6 jogos, qual é a probabilidade de que o jogador A ganhe 1 jogo, o jogador B ganhe 2 jogos e o jogador C ganhe 3?

Solution:

Dado:

$ {n} $ = 12 (6 jogos no total)
$ {n_1} $ = 1 (jogador A vence)
$ {n_2} $ = 2 (Jogador B vence)
$ {n_3} $ = 3 (Jogador C vence)
$ {P_1} $ = 0,20 (probabilidade de que o Jogador A vença)
$ {P_1} $ = 0,30 (probabilidade de o Jogador B ganhar)
$ {P_1} $ = 0,50 (probabilidade de o Jogador C ganhar)

Colocando os valores na fórmula, obtemos:

$ {P_r = \ frac {n!} {(N_1!) (N_2!) ... (n_x!)} {P_1} ^ {n_1} {P_2} ^ {n_2} ... {P_x} ^ {n_x }, \\ [7pt] \ P_r (A = 1, B = 2, C = 3) = \ frac {6!} {1! 2! 3!} (0,2 ^ 1) (0,3 ^ 2) (0,5 ^ 3), \\ [7pt] \ = 0,135} $