Поиск корней многочлена $X^2 - X + 19$ в $\mathbb Z/61 \mathbb Z$

Question

Для $p = 61$.

Мне дали корни $X^2 + 3$ в $\mathbb Z/p \mathbb Z$, которые $\pm 27 + p\mathbb Z$.

Затем я должен найти корни $X^2 - X + 19$ в $\mathbb Z/p\mathbb Z$, который я нашел без использования предыдущей информации.

Однако я должен использовать данную информацию, чтобы найти корни $X^2 - X + 19$ в $\mathbb Z/p\mathbb Z$, к которому я понятия не имею, как двигаться дальше.

Answer 1

Завершите квадрат.

$X^2-X+19\equiv0\bmod61\iff 4X^2-4X+76\equiv0\bmod61$

$\iff (2X-1)^2\equiv-75=-3\times 5^2 \bmod61$

$\iff 2X-1\equiv\pm27\times5\bmod61$.

Вы можете взять это отсюда?