ชุดค่าผสม: ทำไมจึงผิด?

Question

ฉันต้องการหาจำนวนของตัวเลข 5 หลักที่แตกต่างกันโดยที่ 3 หลักต่างกัน แต่ละหลักสามารถมาจากชุด (1,2,3,4,5) สมมติว่าฉันมีตัวเลขสามหลัก$a,b,c$. เราต้องคดี

$$a,b,c,a,a \text{ or } a,b,c,a,b$$

ในกรณีแรกเรามี $\frac{5!}{3!}$ ชุดค่าผสมที่แตกต่างกันและในครั้งที่สองเรามี $\frac{5!}{2!2!}$. ตั้งแต่$a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มต่างจากเซต $(1,2,3,4,5)$หนึ่งจะสามารถใช้ $5$ ค่าหนึ่งจะสามารถรับได้ $4$ ค่าหนึ่งและจะสามารถรับได้ $3$ค่า ดังนั้นจำนวนชุดค่าผสมทั้งหมดคือ$(\frac{5!}{3!}+ \frac{5!}{2!2!})\times5\times4\times3=3000$.

อย่างไรก็ตามคำตอบสำหรับคำถามจะได้รับ $1500$. มีใครรู้บ้างว่าฉันผิดพลาดตรงไหน?

เป็นที่น่าสังเกตว่าฉันได้ถามสิ่งที่คล้ายกันมากที่นี่อย่างไรก็ตามส่วนความคิดเห็นมีขนาดใหญ่และคำตอบดูเหมือนจะแนะนำฉันใช้วิธีการอื่น แต่ฉันต้องการทราบว่ามีอะไรผิดปกติกับสิ่งนี้

Answer 1

ในทั้งสองกรณีของคุณคุณมีการนับสองครั้ง: ในกรณีแรกการสลับตำแหน่งของ $b$ และ $c$ในสตริงและการแลกเปลี่ยนค่าในการกำหนดจะให้สตริงของตัวเลขเดียวกันอีกครั้ง (เช่น12131สามารถได้รับเป็น$abaca$ ด้วย $a=1, b=2, c=3$ หรือเป็น $acaba$ ด้วย $a=1, b=3, c=2$). มีการนับสองครั้งที่คล้ายกันในวินาทีที่เกี่ยวกับการแลกเปลี่ยน$a$ และ $b$.

Answer 2

คุณมีสองกรณี: 3-1-1 หรือ 2-2-1

กรณีที่ 3-1-1:

1. เลือกช่องสามช่องที่จะวางตัวเลขซ้ำ: $5\choose 3$.
2. เลือกตัวเลขที่ซ้ำกัน: 10
3. เลือกอีกสองคนด้วยกัน $9 \choose 2$

สิ่งนี้ให้ความเป็นไปได้ 7200

จัดการในทำนองเดียวกันกับกรณี 2-2-1