Idempotent กลางดั้งเดิม
ฉันกำลังอ่านข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้และมีส่วนหนึ่งที่รบกวนจิตใจฉันเล็กน้อย ทฤษฎีบทและการพิสูจน์ส่วนนั้น (ไฮไลต์) อยู่ด้านล่าง
หลักฐานส่วนที่ไฮไลต์:
คำจำกัดความที่ให้ไว้ในข้อความขององค์ประกอบที่มีศักยภาพส่วนกลางดั้งเดิม $e$ คือถ้า $e$ เป็นศูนย์กลางและไม่มีการสลายตัวที่เหมาะสมเป็นผลรวมขององค์ประกอบ idempotent ศูนย์กลางมุมฉาก
ส่วนที่ทำให้ฉันสับสนคือฉันไม่เห็นวิธีการ $e = e e_i + e(1-e_i)$ บอกเป็นนัยว่า $ee_i = e_i$ หรือ $ee_i = 0$. ดูเหมือนว่าผู้เขียนใช้ความจริงที่ว่า$e$ เป็นตัวบ่งชี้ศูนย์กลางดั้งเดิมที่จะสรุปสิ่งนี้ แต่ในคำแถลงเราถือว่าเท่านั้น $e$ เป็นเอกลักษณ์สำคัญ
นอกจากนี้สมมติว่า $e$ เป็นตัวบ่งชี้ศูนย์กลางดั้งเดิมแล้ว $e = e e_i + e(1-e_i)$ จะหมายความว่าอย่างใดอย่างหนึ่ง $ee_i = 0$ หรือ $e(1-e_i) = 0 $ แต่นี่จะบอกเป็นนัยว่า $e = ee_i$ แม้ว่า
บางทีฉันอาจจะพลาดเรื่องเล็กน้อยที่นี่ แต่ฉันไม่เห็นมัน
ขอบคุณทุกคน.
คำตอบ
ฉันไม่แน่ใจว่าผู้เขียนพิมพ์ผิดหรือเปล่าหรือฉันเป็นคนที่ขาดอะไรไป แต่เราสามารถเขียนได้
$$e_i=ee_i+(1-e)e_i.$$
นี่คือผลรวมของ idempotents ที่ตั้งฉากกันและตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา $e_i$เป็นแบบดั้งเดิมหนึ่งในเงื่อนไขเป็นศูนย์ ดังนั้น$ee_i=0$ หรือ $(1-e)e_i=0$ซึ่งในกรณีนี้ $e_i=ee_i$.