K- ทฤษฎีของ $C^{*}(X)$

Question

ฉันยังใหม่กับ K-Theory สำหรับ $C^{*}$- พีชคณิตและ $C^{*}$- พีชคณิตของกลุ่ม

ถ้า $X$ คือกลุ่มของ bijections สนับสนุน จำกัด ของจำนวนธรรมชาติแล้ว K-Theory คืออะไร $C^{*}(X)$เหรอ?

ฉันกำลังวางแผนที่จะคำนวณ $C^{*}(X)$ ก่อนอื่นแล้วการคาดการณ์และคลาส homotopy แต่ฉันไม่สามารถระบุได้ $C^{*}(X)$ ในที่แรก.

นี่คือคำจำกัดความของไฟล์ $C^{*}$- พีชคณิตของกลุ่ม:

https://pages.uoregon.edu/ncp/Courses/2016ShanghaiCrPrdFiniteGps/Slides/Lecture1_Print_NoP.pdf

ใครสามารถช่วยฉัน?

ขอบคุณมาก.

Answer 1

กลุ่มที่คุณอธิบายควรเป็นกลุ่มสมมาตรที่ไม่มีที่สิ้นสุด $S_{\infty}$. $K$- ทฤษฎีของมัน $C^*$- พีชคณิตถูกกำหนดโดย Kerov และ Vershik in

K -functor (กลุ่ม Grothendieck) ของกลุ่มสมมาตรที่ไม่มีที่สิ้นสุด https://link.springer.com/article/10.1007/BF02104985

ผลลัพธ์หลักสามารถสรุปได้ดังนี้ $\mathcal{A}$เป็นวงแหวนของพหุนามสมมาตรในตัวแปรมากมายไม่สิ้นสุด นี่คือ isomorphic ถึง$\mathbb{Z}[a_1, a_2, \dots]$, ที่ไหน $a_i$ คือ $i$ฟังก์ชันสมมาตรเบื้องต้นในอาร์กิวเมนต์จำนวนไม่ จำกัด แล้ว$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \mathcal{A}\,/\, (a_1 - 1)\mathcal{A}\ . $$ ไอโซมอร์ฟิซึมส่งการแสดงที่ไม่สามารถวัดได้ $\pi_{\lambda}$ สอดคล้องกับแผนภาพ Young $\lambda$ กับฟังก์ชัน Schur ที่สอดคล้องกับ $\lambda$. นอกจากนี้ยังเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวนโดยที่โครงสร้างวงแหวนทางด้านซ้ายมือมาจากการสังเกตว่า$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \lim_n K_0(C^*S_n) $$ และคูณสองตัวแทน $\pi_1 \colon S_n \to GL(V)$ และ $\pi_1 \colon S_m \to GL(W)$ ถึง $$ Ind_{S_n \times S_m}^{S_{n+m}}(\pi_1 \otimes \pi_2)\ , $$ ที่ไหน $S_n \times S_m$ นั่งอยู่ข้างใน $S_{n+m}$ ด้วย $S_n$ อนุญาตครั้งแรก $n$ องค์ประกอบและ $S_m$ อนุญาตอื่น ๆ $m$.