แก้ $n < e^{6 \sqrt{n}}$

Question

ค้นหาว่าค่าใดของ $n \in \mathbb{N}$ มันถือว่า $$n < e^{6 \sqrt{n}}.$$

ฉันพยายามใช้อสมการ $(1 + x) \leq e^x$แต่จากนี้ฉันพบว่าอสมการมีไว้เพื่อ $n > 36$. แต่ฉันต้องได้รับ$n$ เล็กที่สุด

ฉันลองใช้การเหนี่ยวนำด้วย $n$แต่ฉันติดอยู่ในขั้นตอนการเหนี่ยวนำ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการแสดงว่า$e^{6\sqrt{n}} + 1 \leq e^{6\sqrt{n+1}}$.

ฉันขอขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือและข้อเสนอแนะใด ๆ

Answer 1

เรามี $e^{3x} > 3x \ge x$ สำหรับ $x\ge 0$. นำไปใช้กับ$x = \sqrt{n}$ ที่จะได้รับ $e^{3\sqrt{n}} > \sqrt{n}$. สแควร์ทั้งสองด้านและคุณมี$e^{6\sqrt{n}} > n$ เพื่อทุกสิ่ง $n\ge 0$.

Answer 2

(อ้างอิงจากคำแนะนำจากผู้ใช้ 2661923 ดูความคิดเห็นด้านบน)

ฉันตั้ง $f(x) = e^{6\sqrt{x}} - x$. ที่มาแรกของ$f(x)$ คือ $$f'(x) = 3 \frac{e^{6\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} - 1.$$

เราทราบว่า $f(1) = e^6 - 1 > 0$. นอกจากนี้ยังตรวจสอบได้ไม่ยาก$f'(x) > 0$ สำหรับ $x \in [1, +\infty)$. ด้วยประการฉะนี้$f$ เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ $[1, +\infty)$ และ $f(1) > 0$. ดังนั้น$f(x) > 0$ เพื่อทุกสิ่ง $x \in [1, +\infty)$. ก็บอกเป็นนัยว่า$x < e^{6\sqrt{x}}.$

และคำถามของฉันตามมาอย่างง่ายดาย

Answer 3

ความไม่เท่าเทียมกันถือเป็นบวกทั้งหมด $x$อย่างมีประสิทธิภาพเพื่อให้การพิสูจน์ดูเหมือนมากเกินไป :-)

(สังเกตว่า $0<e^{6\sqrt0}$ และ $1<\dfrac6{2\sqrt x}e^{6\sqrt x}$.)

---

หรือใช้ Taylor

$$n<1+6\sqrt n+18n+\cdots$$