การลดพลังงานในไม้บรรทัด
ฉันกำลังพยายามหารูปร่างที่ไม้บรรทัดโลหะใช้เมื่อถูกบังคับให้อยู่ในเงื่อนไขขอบเขตเฉพาะบางอย่าง
บทนำ
ลองนึกภาพไม้บรรทัดโลหะยาว ๆ ที่ถูกบังคับให้งอรอบตะปูจำนวนหนึ่งที่ตอกเป็นแผ่นไม้ ไม้บรรทัดจะใช้รูปร่างบางอย่างเพื่อลดพลังงานการเสียรูปภายในให้เหลือน้อยที่สุด
รัศมีความโค้งที่เล็กลงตามความยาว $l$ของไม้บรรทัดยิ่งต้องใช้พลังงานมากขึ้นในการบังคับให้เป็นรูปร่างนั้น ถ้า$\theta$ คือมุมที่ไม้บรรทัดทำกับแนวนอนเราต้องการลดการเปลี่ยนแปลงให้น้อยที่สุดกล่าวคือเราต้องการย่อให้เล็กสุด $$E = \int_0^L \left|\frac{d\theta}{dl}\right| dl = \int_0^X \left|\frac{d\theta}{dx}\right| dx.$$ การใช้ $g(x)$ เพื่ออธิบายเส้นทางของไม้บรรทัดเราจะเห็นสิ่งนั้น $\theta(x) = \arctan(g'(x))$. การเปลี่ยนแปลงของมุมจึง$$ \frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{1+g'(x)^2} g''(x). $$ ดังนั้น: ไม่ว่าเงื่อนไขขอบเขตใดก็ตามเราต้องการค้นหาฟังก์ชัน $g(x)$, ดังนั้น $$E = \int_0^X \left|\frac{1}{1+g'(x)^2} g''(x)\right| dx$$ มีน้อย
ตอนนี้โดยไม่มีเงื่อนไขขอบเขตนี่เป็นเรื่องเล็กน้อยเนื่องจากเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ค่าต่ำสุดที่แน่นอนคือ $E=0$ซึ่งได้รับเมื่อ $g''(x)=0 \forall x\in[0,X]$กล่าวคือเมื่อ $g(x)$เป็นเส้นตรง ซึ่งเป็นสิ่งที่คาดหวัง: ไม้บรรทัดจะตรงหากไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติมที่ต้องปฏิบัติตาม
มันน่าสนใจมากขึ้นด้วยเงื่อนไขขอบเขต
เงื่อนไขขอบเขต
เงื่อนไขขอบเขตที่เป็นธรรมชาติที่สุดซึ่งสอดคล้องกับวิธีที่ฉันนำเสนอในตอนแรกคือมีหลายประเด็น $(a_i, y_i)$และเงื่อนไขก็คือสำหรับทุกคน $i$, $$g(a_i) = y_i$$ นี่เป็นปัญหาที่น่าสนใจและเป็นปัญหาหนึ่งที่ฉันแก้ไม่ได้
สำหรับเหตุผลที่ฉันจะไม่ไปลงที่นี่ (ดูคำถามนี้ถ้าคุณสนใจ) ปัญหาฉันจริงพยายามที่จะแก้เป็นหนึ่งที่มีเงื่อนไขขอบเขตบนหนึ่งของ$g$. มี tuples หลายตัว$(a_i, b_i, y_i)$และเงื่อนไขก็คือสำหรับทุกคน $i$, เรามี $$\int_{a_i}^{b_i} g(x) dx = y_i \cdot (b_i-a_i)$$ ฉันไม่รู้ว่าจะทำอย่างไรกับเรื่องนี้และจะขอบคุณสำหรับเคล็ดลับใด ๆ
ขอบคุณมาก!
แก้ไข:
ตอนนี้ฉันไม่แน่ใจว่ามันมีประโยชน์จริงหรือเปล่า แต่เราได้รับการแก้อินทิกรัลสำหรับ E
$$ \begin{align} E &= \int_0^X \left|\frac{1}{1+g'(x)^2} g''(x)\right| dx \\ &= \int_{I_+} \frac{1}{1+g'(x)^2} g''(x) dx + \int_{I_-} \frac{1}{1+g'(x)^2} (- g''(x)) dx \\ &= \left. \arctan(g'(x)) \right\vert_{I_+} - \left. \arctan(g'(x)) \right\vert_{I_-} \end{align} $$ ด้วย $I_+$ และ $I_-$ ที่ $x$- ช่วงเวลาที่ $g''(x)$ เป็นบวกและลบตามลำดับ
เพราะ $I_+$ และ $I_-$ สร้างช่วงเวลาต่อเนื่องจาก $0$ ถึง $X$เราสามารถเขียนสิ่งนี้เป็น $$ E = \arctan(g'(X)) - \arctan(g'(0)) - \left. 2 \arctan(g'(x)) \right\vert_{I_-} $$ เป้าหมายของเราคือการค้นหาฟังก์ชัน $g(x)$ ที่ย่อนิพจน์นี้ให้เล็กที่สุดในขณะที่สอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขต
คำตอบ
กฎออยเลอร์ - เบอร์นูลลีกำหนดความสัมพันธ์เชิงเส้นโดยมีค่าคงที่ตามสัดส่วน (EI ความแข็งดัด) ระหว่างความโค้ง (ซึ่งปริพันธ์ส่วนโค้งคือความชัน $ \theta$ คุณพูดถึง) และช่วงเวลาการดัด (สีน้ำเงิน)
ตะปูที่จุดสีดำ (การเปลี่ยนรูป) ในไม้อัดในที่สุดก็กำหนดกองกำลังโดยใช้วิธีการที่พัฒนามาอย่างดีของกลไกของวัสดุ / ความแข็งแรงของวัสดุเริ่มตั้งแต่ศตวรรษที่ 18 ... บนวัสดุเช่นแท่งไฟเบอร์กลาสหรือไม้บรรทัดโลหะยืดหยุ่น ที่จุดคงที่เหล่านี้ (เรียกง่ายๆว่ารองรับหรือบานพับ) โมเมนต์ดัดจะหายไป
รายชื่อโปรแกรมอย่างง่ายMathematicaจะได้รับโดยที่ความยาวส่วนโค้งรองรับอย่างง่าย$ (s=-2,s=-1,s=1) $ช่วงเวลาที่หายไป การรวมทำได้โดยNDSolveใช้อัลกอริธึมการรวมตัวเลข Runge-Kutta
NDSolve รวมเชิงตัวเลขโดยอัตโนมัติจากอนุพันธ์อันดับสองถึงหนึ่ง (ความชัน) และถัดจาก $ [x(s),y(s)], \dfrac{dx}{ds}= \cos \theta,\;\dfrac{dy}{ds}= \sin \theta,\;$ และเห็นรูปร่างของส่วนโค้งของการโก่งตัว
EI=3;smin=-2;smax=1.5;
bm[s_]= -EI (s-1)(s+1)(s+2)/3;
BdgMoment=Plot[bm[s],{s,smin,smax},PlotStyle->{Thick,Blue},GridLines->Automatic,AspectRatio->0.6]
equn={PH'[s]==bm[s]/EI,X'[s]==Cos[PH[s]],Y'[s]== Sin[PH[s]],PH[0]==0.5,X[smin]==-2,Y[smin]==2};
NDSolve[equn,{PH,X,Y},{s,smin,smax}];
{ph[u_],x[u_],y[u_]}={PH[u],X[u],Y[u]}/.First[%];
deflection=ParametricPlot[ {x[s],y[s]},{s,smin,smax+.4},PlotStyle->{Red,Thick},GridLines->Automatic,AspectRatio->0.4 ]
รูปร่างสมดุลคงเกิดขึ้นโดยอัตโนมัติโดยการลดพลังงานของพลังงานความเครียดยืดหยุ่นที่เก็บไว้ $ U=\int \frac{M^2}{2 EI} ds$. สามารถพบชุดของกองกำลังที่สร้างการกระจายโมเมนต์ของรูปแรก
โดยการกระทำของกองกำลัง (ละไว้ที่นี่) โมเมนต์ดัด (สีน้ำเงิน) จะเกิดขึ้น ช่วงเวลาเหล่านี้กำหนดความโค้งจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง ดังนั้นโดยการรวมโดยตรงดังกล่าวจะทำให้รูปร่างประเภทElastica (ออยเลอร์) (สีแดง) ได้ดังที่แสดง ฉันได้รวมตะปูไว้สามตัว แต่สามารถสรุปเป็นตัวเลขและตำแหน่งโดยพลการได้
สำหรับการหมุนขนาดเล็กวิธีแก้ปัญหาของเส้นโค้งยืดหยุ่น (หรือที่เรียกว่า "ลำแสง") เนื่องจากศ. Hetényi / MIT เตือนหนึ่งในซีรีส์ของ Maclaurin:
$$ y(x) = y_0 + y'_0(x) +-y''(0) \frac{x^2}{2!}- y'''(0)\dfrac{x^3}{3!}..$$
โดยที่อนุพันธ์ที่สามและสี่แสดงถึงโมเมนต์ดัดและแรงเฉือนไม่เกินค่าคงที่ EI
แนวทางของคุณที่ว่างานเสมือนจริง / พลังงานเป็นตัวตัดสินว่ารูปร่างของไม้บรรทัดยืดหยุ่นนั้นถูกต้อง อย่างไรก็ตามจำเป็นต้องนำกองกำลังเข้ามามีทฤษฎีบทของ Castiliagnoที่เชื่อมโยงพลังงาน (อนุพันธ์บางส่วนกับกองกำลัง ) เพื่อกำหนดความผิดปกติ / รูปร่าง
ฉันแน่ใจว่าคำตอบของฉันทำให้เกิดคำถามมากขึ้น แต่ในมุมมองของรายละเอียดต่างๆที่เกี่ยวข้องนั่นคือสิ่งที่ดีที่สุดที่ฉันสามารถนำเสนอได้ในตอนนี้