คำถามเกี่ยวกับ Existential Instantiation
ฉันมีปัญหาในการทำความเข้าใจการสร้างอินสแตนซ์อัตถิภาวนิยม หนังสือเรียนของฉัน (Rosen - คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องและการประยุกต์ใช้) ระบุสิ่งนี้เกี่ยวกับการสร้างอินสแตนซ์อัตถิภาวนิยม:
การสร้างอินสแตนซ์ที่มีอยู่เป็นกฎที่ช่วยให้เราสามารถสรุปได้ว่ามีองค์ประกอบ c ในโดเมนซึ่ง P (c) เป็นจริงถ้าเรารู้ว่า∃xP (x) เป็นจริง เราไม่สามารถเลือกค่า c โดยพลการได้ที่นี่ แต่ต้องเป็น ac ซึ่ง P (c) เป็นจริง โดยปกติเราไม่มีความรู้ว่า c คืออะไรมีเพียงสิ่งเดียวเท่านั้น เนื่องจากมีอยู่จริงเราจึงอาจตั้งชื่อ (c) และโต้แย้งต่อไป
สิ่งนี้สมเหตุสมผลสำหรับฉันสำหรับข้อความที่มีอยู่จริงบางอย่าง
ตัวอย่างเช่นพิจารณาคำสั่ง $\exists x\in \mathbb{Z}$ $(x + 1 = 2)$. มีเพียงจำนวนเต็มเดียวที่ทำให้ฟังก์ชันประพจน์ ($x + 1 = 2$) จริง (กล่าวคือ $1$). ดังนั้นฉันจึงรู้สึกว่าสัญลักษณ์ใหม่$c$ สามารถสร้างขึ้นเพื่อตั้งชื่อ "จำนวนเต็มเดียวที่ทำให้ $x + 1 = 2$ จริง ".
อย่างไรก็ตามให้พิจารณาคำสั่ง $\exists x\in \mathbb{Z}$ $(x * 0 = 0)$. มีจำนวนเต็มจำนวนมากที่ทำให้ฟังก์ชันประพจน์ ($x * 0 = 0$) จริง (เช่น $1$, $2$, $3$).
ในกรณีนี้เมื่อเราสร้างสัญลักษณ์ใหม่ $c$นี่คือสัญลักษณ์ที่ตั้งชื่อ "หนึ่งในจำนวนเต็มที่ทำให้ $x * 0 = 0$ จริง "? ฉันพบว่ามันคลุมเครือเล็กน้อยดังนั้นฉันจึงสงสัยว่าฉันเข้าใจความหมายของสัญลักษณ์นี้ถูกต้องหรือไม่
กรุณาชี้แจงและขอขอบคุณที่สละเวลา
คำตอบ
อย่างไรก็ตามให้พิจารณาคำสั่ง $\exists x\in \mathbb{Z}$ $(x * 0 = 0)$. มีจำนวนเต็มจำนวนมากที่ทำให้ฟังก์ชันประพจน์ ($x * 0 = 0$) จริง (เช่น $1$, $2$, $3$).
ในกรณีนี้เมื่อเราสร้างสัญลักษณ์ใหม่ $c$นี่คือสัญลักษณ์ที่ตั้งชื่อ "หนึ่งในจำนวนเต็มที่ทำให้ $x * 0 = 0$ จริง "?
ใช่ว่าจะเป็นอย่างนั้น ดังนั้น.. แม้ว่าการใช้$c$ชี้ให้เห็นว่าเรารู้แน่ชัดว่าเรากำลังพูดถึงวัตถุใดซึ่งในความเป็นจริงไม่ใช่ในกรณีนี้ เรายังคงทราบเพียงว่ามีอย่างน้อยหนึ่งวัตถุที่ตรงตามสูตรที่เป็นปัญหา แต่ในการหาเหตุผลเพิ่มเติมเราจำเป็นต้องสามารถพูดถึง 'หนึ่งในวัตถุเหล่านั้น' และด้วยเหตุนี้ระบบนี้จึงใช้ค่าคงที่แต่ละตัว .... แม้ว่าคุณจะต้องแน่ใจว่าค่าคงที่มากนั้น ไม่ได้ใช้ที่อื่นในการพิสูจน์เพื่ออ้างถึงวัตถุอื่น
โปรดทราบว่ามีระบบการพิสูจน์อย่างเป็นทางการอื่น ๆ ที่ไม่ใช้ $c$ ในกรณีนี้ แต่ให้ตัวแปรเป็นตัวแปรซึ่งมีข้อดีของข้อเสนอแนะที่คุณไม่ทราบว่าคุณกำลังพูดถึงวัตถุใดโดยเฉพาะ ... แต่ข้อเสียเปรียบคือตอนนี้คุณได้รับเส้นในการพิสูจน์ว่าเมื่อนำ จากบริบทของส่วนที่เหลือของการพิสูจน์จะมีตัวแปรอิสระ ... และนั่นเป็นข้อเสียที่เพียงพอสำหรับบางคนที่จะใช้ค่าคงที่แทน
บางครั้งฉันเคยคิดว่าวิธีหนึ่งในการจัดการกับทั้งหมดนี้คือการมีชุดวิธีที่สามเพื่อชี้ไปที่วัตถุอื่นที่ไม่ใช่ค่าคงที่และตัวแปร: สัญลักษณ์ที่คุณจะใช้สำหรับการสร้างอินสแตนซ์ที่มีอยู่จริงนี้และซึ่งแสดงถึง 'บางวัตถุด้วย คุณสมบัติบางอย่างแม้ว่าเราจะไม่รู้ แต่ก็ไม่รู้ว่าอันไหน 'คือไม่ได้ทำตามอำเภอใจโดยสิ้นเชิง (เหมือนตัวแปรปกติ) แต่ก็ไม่เฉพาะเจาะจง (เช่นค่าคงที่) ฉันไม่เคยระบบวุฒิสภาทำอะไรแบบนั้น