Markov Chain Limit Proof

Question

ก่อนอื่นขอโทษสำหรับภาษาอังกฤษที่ไม่ดีของฉัน ฉันมีปัญหาในการพิสูจน์แบบฝึกหัดนี้ (มาจากบันทึกบางส่วนที่ฉันกลับเข้ามหาวิทยาลัยฉันกำลังเรียนปริญญาโทในปีหน้า)

ปล่อย $X$ เป็นห่วงโซ่มาร์คอฟที่ไม่สามารถลดทอนเป็นระยะ ๆ บนพื้นที่ของรัฐที่ จำกัด $S$. ปล่อย$\pi$วัดนิ่ง สมมติ$X$ เริ่มต้นเมื่อ $\pi$. ปล่อย$a,b \in S$. แสดงว่า:

$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(X_0=a, X_n=b) = \pi(a)\pi(b)$

ฉันลองหลายอย่างรวมถึงข้อต่อ แต่คิดไม่ออก เคล็ดลับและความช่วยเหลือใด ๆ จะดีมาก ขอบคุณ!

Answer 1

คุณไม่สามารถเขียนได้ \begin{align} \mathbb P(X_0 = a, X_n = b) &= P(X_0 = a) P(X_n = b \vert X_0 = a) \\ &= \pi(a) P^n_a(b), \end{align} ที่ไหน $P^n_a$ คือ $n$- ขั้นตอนเคอร์เนลของห่วงโซ่ Markov เริ่มต้นใน $a$และคุณคิดว่า $X_0$ มาจาก $\pi$. ด้วยความไม่สามารถวัดได้และความเป็นกาลเทศะเคอร์เนลนี้จะรวมเข้ากับหน่วยวัดนิ่งในขีด จำกัด ดังนั้นคุณจะได้รับ$$ \lim_{n \rightarrow \infty} P^n_a(b) = \pi(b),$$และผลที่ตามมา ฉันขาดอะไรไป?