$\mathbb R$ ด้วยโทโพโลยีที่ถูกต้องที่สร้างขึ้นโดย $\tau = \{(a, \infty)\}$ คือ pseudocompact: พิสูจน์โดยความขัดแย้งในแง่ของ * ชุดเปิด *
ฉันพยายามพิสูจน์ว่าพื้นที่ทอพอโลยี $X$ นั่นคือโดยพื้นฐานแล้ว $\mathbb R$ ติดตั้งโทโพโลยีด้านขวาที่สร้างขึ้นโดย $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ คือ pseudocompact (ฟังก์ชันต่อเนื่องใด ๆ $f: X \to \mathbb R$). คำถามนี้ถูกถาม ก่อนหน้านี้และได้รับคำตอบเช่นกัน แต่ที่นี่ฉันกำลังมองหาการทบทวนวิธีการเฉพาะของฉันในการพิสูจน์โดยเฉพาะ
คำตอบนี้โดย Severin Schraven พิสูจน์โดยความขัดแย้งในแง่ของชุดปิด ฉันต้องการพิสูจน์เหมือนกันในแง่ของเซตเปิดนั่นคือการใช้คุณสมบัติที่ภาพก่อนหน้าของเซตเปิดภายใต้ฟังก์ชันต่อเนื่องเปิดอยู่
แนวทางของฉัน :
สังเกตว่าชุดเปิดใน $X$ เป็นรูปแบบต่อไปนี้:
$$\emptyset, \quad (-\infty, +\infty), \quad (a, \infty).$$
ตอนนี้สมมติว่าเราเลือกบางส่วน $x \in \mathbb R$ และดูการรวมกันของชุดเปิดที่ไม่ปะติดปะต่อกันในส่วนเสริม $\mathbb R \setminus \{x\}$, นั่นคือ, $(-\infty, x)\cup (x, \infty)$. ในโทโพโลยีมาตรฐานบน$\mathbb R$, ชุด $(-\infty, x)$ และ $(x, \infty)$ มีทั้งเปิดเผยและไม่ปะติดปะต่อ
เรายังรู้ว่ามันเป็นคุณสมบัติตามปกติของการแมปที่ $f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$.
ดังนั้น $$f^{-1}(-\infty, x) \cap f^{-1}(x, \infty) = f^{-1}((-\infty, x) \cap (x, \infty)) = \emptyset.$$
โดยนัยนี้ $f^{-1}(x, \infty) = \emptyset$ หรือ $f^{-1}(-\infty, x) = \emptyset$ หรือทั้งสองอย่างคือ $\emptyset$. ในความเป็นจริงเพื่อพิสูจน์ว่า$f(X) = x$, นั่นคือ $f$ เป็นแผนที่คงที่เราจำเป็นต้องพิสูจน์ว่าภาพก่อนหน้าทั้งสองว่างเปล่ากล่าวคือ $f^{-1}(x, \infty) = \emptyset$ เช่นเดียวกับ $f^{-1}(-\infty, x) = \emptyset$.
หลังจากนี้ฉันคิดว่าจะเลือกไฟล์ $y \in \mathbb R$ ดังกล่าวและมองไปที่ $f^{-1}(\mathbb R \setminus \{y\})$ เพื่อแสดงว่าในความเป็นจริงเป็นไปไม่ได้สำหรับ $f^{-1}(\mathbb R\setminus \{x\})$จะไม่ว่างเปล่าโดยการสร้างความขัดแย้ง นั่นคือไม่ใช่$f^{-1}(-\infty, x)$ หรือ $f^{-1}(x, \infty)$ได้รับอนุญาตให้ว่างเปล่าเนื่องจากความขัดแย้งที่เกิดขึ้น แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะไปเกี่ยวกับเรื่องนี้อย่างไร สิ่งนี้สามารถแสดงให้เห็นโดยความขัดแย้งเช่นเดียวกับแนวทางของ Severin หรือไม่?
แน่นอนว่าการพิสูจน์ใด ๆ เกี่ยวกับฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถทำได้ทั้งในแง่ของเซตเปิดและในแง่ของเซตปิดและการพิสูจน์ดังกล่าวถือว่าเป็น "คู่" ในบางแง่ โดยพื้นฐานแล้วฉันกำลังมองหาหลักฐานของ Severinในแง่ของชุดเปิด
คำตอบ
โทโพโลยีที่ถูกต้องมีคุณสมบัติที่
- ทั้งหมดไม่ว่างเปล่าเปิดชุดตัด (anti-ดอร์ฟหรือhyperconnected
- ทั้งหมดไม่ว่างเปล่าชุดปิดตัด (หรือultraconnected )
สำหรับช่องว่างทั้งสองประเภทนี้ $X$ เรามีสิ่งนั้นอย่างต่อเนื่อง $f: X \to \Bbb R$ คงที่
อาร์กิวเมนต์ตามปกติที่ระบุในคำตอบที่เชื่อมโยงจะเน้นที่ 1 และสังเกตว่า if $f$ ไม่คงที่มีสองค่าที่แตกต่างกันซึ่งมีย่านที่เปิดไม่ปะติดปะต่อกัน $U,V$ ใน $\Bbb R$. แล้ว$f^{-1}[U]$ และ $f^{-1}[V]$ ยังไม่ปะติดปะต่อกัน (ทฤษฎีเซตเช่น $f^{-1}$ รักษาจุดตัดตามที่คุณทราบ) และไม่ว่างเปล่า (เป็น $U$ และ $V$ มีค่าของ $f$).
ดังนั้นอาร์กิวเมนต์เหล่านี้สามารถสรุปได้
ถ้า $f: X \to Y$ เป็นแผนที่ต่อเนื่องจากพื้นที่ที่เชื่อมต่อกันมากเกินไป $X$ ไปยังพื้นที่ Hausdorff $Y$, $f$ คงที่
ข้อโต้แย้งของ Severin แตกต่างกันเล็กน้อย: ใช้ทั้งหมดนั้น $\{x\}$ ถูกปิดใน $\Bbb R$แทน. ชุดทั้งหมด$f^{-1}[\{x\}]$ เพื่อความแตกต่าง $x$ ไม่ปะติดปะต่อและ iff ไม่ว่างเปล่า $x$เกิดขึ้นเป็นค่า ดังนั้นข้อโต้แย้งของเขาสามารถสรุปได้เป็น
ถ้า $f:X \to Y$ เป็นแผนที่ต่อเนื่องจากการเชื่อมต่อพิเศษ $X$ ถึงก $T_1$ พื้นที่ $Y$, $f$ คงที่
ฉันไม่จำเป็นต้องเรียกการพิสูจน์เหล่านี้ว่าคู่ เพื่อที่เราจะต้องใช้ชุด$\Bbb R\setminus \{x\}$แทนและใช้สหภาพแรงงาน จำกัด แทนทางแยก จำกัด จากมุมมองทั่วไปพวกเขาให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันเล็กน้อยโดยมีหลักฐานที่คล้ายกัน จริงคู่จะเป็นอะไรเช่นนี้
สมมติ $f: X \to \Bbb R$ มีความต่อเนื่องและไม่คงที่และมีค่า $y_1= f(x_1) \neq f(x_2)= y_2$. แล้ว$f^{-1}[\Bbb R \setminus \{y_1\}]$ เปิดอยู่ (ความต่อเนื่อง) ไม่ว่างเปล่า (เป็น $x_2$ อยู่ในนั้น) และไม่ $X$ (เช่น $x_1$ ไม่ใช่) และในทำนองเดียวกันสำหรับ $f^{-1}[\Bbb R \setminus \{y_2\}]$.
แต่ $$X = f^{-1}[\Bbb R \setminus \{y_1\}] \cup f^{-1}[\Bbb R \setminus \{y_2\}]$$
และเราได้เขียน $\Bbb R$ ในโทโพโลยีส่วนบนเป็นการรวมกันของชุดเปิดสองชุดซึ่งไม่มีอยู่ $\Bbb R$. สิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้$(a,\infty) \cup (b, \infty) = (\min(a,b), \infty) \neq \Bbb R$ สำหรับใด ๆ $a,b$.
ฉันคิดว่าตอนนี้ม้าตายดีแล้วจริงๆ ..