ปิดดิสก์ภายในชุดเปิด

Question

มาแก้ไขชุดที่เปิดอยู่ $A$ ในระนาบที่ซับซ้อน $\mathbb{C}$ กอปรด้วยโทโพโลยีแบบยุคลิด

มาแก้ไขกันเถอะ $z_0 \in A$ (สมมติ $A$ ไม่ว่างเปล่า)

เห็นได้ชัดว่ามีดิสก์ปิดอยู่ $\overline{B_r(z_0)}$ อยู่ตรงกลาง $z_0$ของรัศมี $r>0$ และมีอยู่ใน $A$.

ตอนนี้ฉันจะแสดงได้อย่างไรว่ามีดิสก์อื่นที่ปิดอยู่ $\overline{B_s(z_0)}$ ดังนั้น $\overline{B_r(z_0)} \subseteq \overline{B_s(z_0)} \subseteq A$เหรอ?

ฉันค้นหาทางออนไลน์ แต่ไม่พบคำตอบ และฉันไม่รู้ว่าจะเข้าใกล้สิ่งนี้อย่างไร

ขอขอบคุณ!

แก้ไข: ที่จริงฉันคิดว่าฉันพบวิธีแล้ว ฉันต้องใช้ฟังก์ชันต่อเนื่องที่เหมาะสมซึ่งจะย่อเล็กสุด

Answer 1

ส่วนประกอบสำคัญที่จะใช้ที่นี่คือความกะทัดรัด สมมติว่าไม่มีดิสก์ดังกล่าว นั่นหมายความว่าสำหรับแต่ละ$\epsilon>0$, $\overline{B_{r+\epsilon}(z_0)}$ ไม่มีอยู่ใน $A$ดังนั้นจึงมีอยู่ $x\not\in A$ ดังนั้น $d(x,z_0)\leq r+\epsilon$. การจัดลำดับจุดต่างๆเช่น$\epsilon\to 0$เราได้ลำดับ $(x_n)$ ไม่มีคะแนนใดเลย $A$, ดังนั้น $d(x_n,z_0)$ มาบรรจบกับ $r$. นี่คือลำดับขอบเขตใน$\mathbb{C}$ดังนั้นมันจึงมีต่อมาที่มาบรรจบกันถึงขีด จำกัด $x$. แล้ว$d(x,z_0)=r$. นอกจากนี้เนื่องจากแต่ละ$x_n$ ไม่ได้อยู่ใน $A$ และ $A$ เปิด, $x\not\in A$. แต่ตอนนี้มันเป็นความขัดแย้งตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา$\overline{B_r(z_0)}\subseteq A$.

Answer 2

ถ้า $A=\Bbb C$เราทำเสร็จแล้ว ตอนนี้ให้$A\not=\Bbb C$, ดังนั้น $A$ มีขอบเขตที่ไม่ว่างเปล่า $\partial A$. ให้เราพิจารณา$\text{distance}(z_0,\partial A)=\inf\big\{||z_0-x||:x\in \partial A\big\}$. จากสมมติฐานที่เรามี$0<r<\text{distance}(z_0,\partial A)$. ตอนนี้ใช้เวลาใด ๆ$s$ ด้วย $r<s<\text{distance}(z_0,\partial A)$.

Answer 3

คำแนะนำ: $A$ เปิดหมายความว่ามี $z_1\in A\setminus\overline{B_r(z_0)}$. ปล่อย$S:=\{|z-z_0|:z\in A\setminus\overline{B_r(z_0)}\} $. ตอนนี้ตั้งค่า$s:=\inf S$.