แสดงว่าตระกูลนี้ไม่ต่อเนื่องที่ $0$
ปล่อย $E$ เป็นช่องว่างเวกเตอร์บรรทัดฐาน $$p_K(\varphi):=\sup_{x\in E}|\varphi(x)|\;\;\;\text{for }\varphi\in E'$$ เพื่อความกะทัดรัด $K\subseteq E$ และ $\sigma_c(E',E)$ แสดงถึงโทโพโลยีเริ่มต้นด้วยความเคารพ $(p_K,K\subseteq E\text{ is compact})$เช่นโทโพโลยีย่อยบน $E'$ สืบทอดมาจากโทโพโลยีของคอนเวอร์เจนซ์ขนาดกะทัดรัดบน $C(K)$.
ปล่อย $\mathcal C\subseteq C(E')$ สม่ำเสมอ $\sigma_c(E',E)$- สม่ำเสมอ
ทำไมเราถึงสรุปได้ว่า $$\forall\varepsilon>0:\exists\delta>0:\forall\varphi\in E':\left\|\varphi\right\|_{E'}<\delta\Rightarrow\sup_{f\in\mathcal C}\left|f(0)-f(\varphi)\right|<\varepsilon?\tag1$$
การอ้างสิทธิ์ที่ต้องการส่วนใหญ่อาจเป็นเรื่องเล็กน้อยที่จะได้รับ แต่ฉันไม่สามารถดูได้ว่าเนื่องจากการตั้งค่าที่ค่อนข้างซับซ้อน
$(1)$ เห็นได้ชัดว่าเป็นความไม่ต่อเนื่องบางประเภทที่ $0$. ฉันไม่แน่ใจว่ามันเกี่ยวข้องหรือเปล่า แต่ตามทฤษฎีบท Banach-Alaoglu$\{\varphi\in E':\left\|\varphi\right\|_{E'}\le\delta\}$ คือ $\sigma_c(E',E)$-compact สำหรับทุกคน $\delta>0$.
คำตอบ
จำคำจำกัดความของความสม่ำเสมอสม่ำเสมอของ$\mathcal{C}$ เป็นชุดแผนที่ $(E',\sigma_c(E',E)) \to \Bbb{R}$:
สำหรับทุกย่าน $V \subseteq \Bbb{R}$ ของ $O$ มีพื้นที่ใกล้เคียง $U$ ของ $0$ ใน $(E',\sigma_c(E',E))$ ดังนั้น $$\varphi,\psi \in V \implies f(\varphi)-f(\psi) \in V, \, \text{for all }f \in \mathcal{C}.$$
ตอนนี้สำหรับ $\psi = 0$ และ $V = \left\langle-\frac\varepsilon2, \frac\varepsilon2\right\rangle$เราได้พื้นที่ใกล้เคียง $U$ ของ $0$ ดังนั้น $$\varphi \in U \implies |f(\varphi)-f(0)|<\frac\varepsilon2, \, \text{for all }f \in \mathcal{C} \implies \sup_{f \in \mathcal{C}} |f(\varphi)-f(0)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon$$ $U$ เป็นพื้นที่ใกล้เคียงของ $0$ มีจุดตัดของลูกบอลเปิดจำนวนมากรอบจุดกำเนิดของรัศมี $\delta_1, \ldots, \delta_k$ เกี่ยวกับเซมิฟอร์มของเซตขนาดกะทัดรัด $K_1, \ldots, K_n \subseteq E$: $$\bigcap_{k=1}^n \{\phi \in E' : p_{K_k}(\phi) < \delta_k\} \subseteq U.$$ ชุด $K_k$ บางคนมีขอบเขตอยู่ในเกณฑ์ปกติ $M_k > 0$ ดังนั้นถ้าเราตั้งค่า $$\delta := \min_{1 \le k \le n}\frac{\delta_k}{M_k}$$ แล้วสำหรับใด ๆ $\varphi \in E'$ เรามี $$\|\varphi\|_{E'} < \delta \implies p_{K_k}(\varphi) = \sup_{x \in K_k}\|\varphi(x)\| \le \|\varphi\|_E'\sup_{x \in K_k}\|x\| < \delta M_k \le \delta_k$$ เพื่อทุกสิ่ง $k=1, \ldots, n$ ดังนั้น $$\|\varphi\|_{E'} < \delta \implies \varphi \in \bigcap_{k=1}^n \{\phi \in E' : p_{K_k}(\phi) < \delta_k\} \subseteq U \implies \sup_{f \in \mathcal{C}} |f(\varphi)-f(0)|<\varepsilon.$$
ถ้าฉันจำไม่ผิดนี่ควรเป็นตัวอย่างของผลลัพธ์ทั่วไป:
- $(X,\tau)$ เป็นพื้นที่ทอพอโลยี
- $Y$ เป็นบรรทัดฐาน $\mathbb R$- พื้นที่เวกเตอร์;
- $$\overline p(f):=1\wedge\sup_{x\in X}\left\|f(x)\right\|\;\;\;\text{for }f\in C(X,\tau;Y);$$
- $$p_K(f):=\sup_{x\in K}\left\|f(x)\right\|_Y\;\;\;\text{for }f\in C(X,\tau;Y)$$ สำหรับ $\tau$- กะทัดรัด $K\subseteq X$ และ $$P:=\{p_K:K\subseteq X\text{ is }\tau\text{-compact}\}.$$
- $(Z,d)$ เป็นช่องว่างเมตริก
- $F:C(X,\tau;Y)\to Z$ ต่อเนื่องกับโทโพโลยีนูนเฉพาะที่ $C(X,\tau;Y)$ ที่สร้างขึ้นโดย $P$ และเมตริก $d$ บน $Z$.
จากนั้นเราจะเห็นว่า $f$ เป็นไปอย่างต่อเนื่องตามบรรทัดฐาน $\overline p$ บน $C(X,\tau;Y)$ ที่สร้างขึ้นโดย $P$ และเมตริก $d$ บน $Z$: ปล่อย $f\in C(X,\tau;Y)$ และ $\varepsilon>0$. โดยสมมติฐานความต่อเนื่องบน$F$มี $P$-ย่าน $N$ ของ $f$ ด้วย $$d(F(f),F(g))<\varepsilon\;\;\;\text{for all }g\in N\tag1.$$ ปล่อย $U_p$ หมายถึงบอลหน่วยเปิดใน $$C(X,\tau;Y)$$ ด้วยความเคารพ $p\in P$. เราสามารถเขียน$N=f+N_0$ สำหรับบางคน $P$-ย่าน $N_0$ ของ $0$. นอกจากนี้ยังมี$k\in\mathbb N_0$, $\tau$- กะทัดรัด $K_1,\ldots,K_k\subseteq X$ และ $\delta_0>0$ ด้วย $$B_0:=\delta_0\bigcap_{i=1}^kU_{p_{K_i}}\subseteq N_0\tag2.$$ ตอนนี้ให้ $\delta\in(0,1)$ ด้วย $\delta\le\delta_0$. จากนั้น$$\delta U_{\overline p}\subseteq B_0\tag3$$ และด้วยเหตุนี้ $$d(F(f),F(g))<\varepsilon\;\;\;\text{for all }g\in f+\delta U_{\overline p}\tag4;$$ กล่าวคือ $f$ ต่อเนื่องที่ $f$ เกี่ยวกับโทโพโลยีนูนเฉพาะที่บน $C(X,\tau;Y)$ ที่สร้างขึ้นโดย $P$ และเมตริก $d$ บน $Z$.
หรืออีกวิธีหนึ่งผลลัพธ์จะตามมาทันทีโดยสังเกตว่าโทโพโลยีที่สร้างขึ้นโดย $P$ หยาบกว่าโทโพโลยีที่สร้างขึ้นโดย $\overline p$ตามที่กล่าวถึงที่นี่
ตอนนี้ถ้า $X$ เป็นบรรทัดฐาน $\mathbb R$- พื้นที่เวกเตอร์และ $\tau$ คือโทโพโลยีที่สร้างขึ้นโดย $\left\|\;\dot\;\right\|_X$แล้ว $$\left\|A\right\|=1\wedge\sup_{x\in X}\left\|Ax\right\|_Y\le\left\|A\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}\tag5\;\;\;\text{for all }A\in\mathfrak L(X,Y)$$ และด้วยเหตุนี้โทโพโลยีที่สร้างขึ้นโดย $\left\|\;\cdot\;\right\|$ จะหยาบกว่าโทโพโลยีตัวดำเนินการแบบสม่ำเสมอ (เช่นโทโพโลยีที่สร้างโดย $\left\|\;\cdot\;\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}$). ดังนั้นเราจึงได้สิ่งนั้นทันที$F$ มีความต่อเนื่องกับโทโพโลยีที่สร้างขึ้นโดย $\left\|\;\cdot\;\right\|_{\mathfrak L(X,Y)}$ และเมตริก $d$ บน $Z$ เช่นกัน.