ซีรีส์แปลก ๆ ที่มาบรรจบกัน

Question

ฉันกำลังพยายามประเมินซีรีส์นี้ $$S= \sum_{n=2}^{\infty} a_n \frac{\ln (n)}{n}$$ แต่ฉันมีเงื่อนไขบางอย่างเกี่ยวกับ $a_n$ทำให้ปัญหาหนักขึ้น ได้แก่$a_n=3$ สำหรับ $n = 2 \mod 4$ และ $a_n = -1$ มิฉะนั้น.

แม้ว่า 2 mod 4 = 2 เป็นเพียงตัวเลขเพื่อนในความคิดเห็นแนะนำว่า 2 [mod 4] รับค่า 2,6,10, ... ซึ่งแน่นอนว่าสมเหตุสมผล หมายความว่า$a_n$ จะไปเหมือน $(3 -1 -1 -1 +3 -1 -1 -1 +3 + ...)$ สำหรับ $n=2,3,4 ...$.

ฉันไม่รู้ว่าจะทำการทดสอบการลู่เข้าอย่างไรเมื่อฉันมีข้อ จำกัด เกี่ยวกับค่าคงที่ผลรวมเช่นนี้ ฉันได้พยายามเขียนผลรวมใหม่ให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่าแล้วพยายามแยกเป็นสองผลรวมสำหรับทั้งสองต่างกัน$a_n$แต่ฉันไม่รู้จะทำยังไงแล้วฉันติดอยู่ตรงไหน ...

Answer 1

หากเรายินดีที่จะเล่นหลวม ๆ เล็กน้อยกับข้อเท็จจริงที่ว่านี่เป็นการบรรจบกันอย่างมีเงื่อนไขเราสามารถใช้ความจริงที่ว่า $3 -1 -1 -1 = (2 + 1) + (-1) + (-2 + 1) - 1$เพื่อแบ่งอนุกรมออกเป็นอนุกรมสลับกันสองชุด: \ begin {multline} S = \ sum_ {n = 2} ^ \ infty a_n \ frac {\ ln (n)} {n} = 2 \ sum_ {n = 1} ^ { \ infty} (- 1) ^ {n + 1} \ frac {\ ln (2n)} {2n} + \ sum_ {n = 2} ^ \ infty (-1) ^ n \ frac {\ ln (n) } {n} \\ = - \ ln (2) \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1)} {n} - \ sum_ {n = 1} ^ \ infty (-1) ^ n \ frac {\ ln (n)} {n} + \ sum_ {n = 2} ^ \ infty (-1) ^ n \ frac {\ ln (n)} {n} = \ ln ^ 2 (2) , \ end {multline}โดยที่ในขั้นตอนสุดท้ายเราใช้ผลลัพธ์ที่$\sum_{n=1}^\infty(-1)^n/n = -\ln(2)$.

สำหรับการพิสูจน์ซีรีส์มาบรรจบกันตั้งแต่ $\ln(n)/n$ ลดความซ้ำซากจำเจคุณควรจะใช้งานได้ซึ่งแสดงว่าไฟล์ $\liminf$ และ $\limsup$ ของผลรวมบางส่วนเท่ากัน

Answer 2

ฉันพบว่าลำดับที่กำหนดสามารถเขียนเป็นไฟล์ $$a_n = \cos (\pi n)-\cos \left(\frac{\pi n}{2}\right)-\cos \left(\frac{3 \pi n}{2}\right)$$ และ $$\sum _{n=2}^{\infty } \left(\cos (\pi n)-\cos \left(\frac{\pi n}{2}\right)-\cos \left(\frac{3 \pi n}{2}\right)\right)\frac{\ln (n)}{n}=\frac{1}{2} \left(2 \ln^2 2+2 \gamma \ln 2-2 \gamma \log 2\right)=\ln^2 2$$

Answer 3

ดังที่ฉันได้ชี้ให้เห็นในความคิดเห็นนี่คือคำถาม B-4 จากการแข่งขัน William Lowell Putnam ในปี 2017 เพื่อความสะดวกฉันกำลังจัดเตรียมโซลูชันแรกจากสองวิธีจากลิงก์ในความคิดเห็นของฉัน ฉันไม่รับเครดิต - มีการเปลี่ยนแปลงวลีเล็กน้อยเท่านั้น

ข้อมูลเชิงลึกที่สำคัญคือการกำหนดชุดเหลื่อมเสริมที่มีเงื่อนไข $$a_k = \frac{\log k}{k} - \frac{\log (k+1)}{k+1},$$ ที่เรามีอยู่เล็กน้อย $$\sum_{k=1}^\infty a_k = 0. \tag{1}$$ ตั้งแต่ $a_k > 0$ สำหรับ $k \ge 3$เรายังเห็นว่า $(1)$ บรรจบกันอย่างแน่นอน

หลังจากสร้างซีรีส์ดังกล่าวเพื่อให้สามารถจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ได้แล้วเราจะสังเกตต่อไป $$3a_{4k+2} + 2a_{4k+3} + a_{4k+4} = (a_{4k+2} + a_{4k+4}) + 2(a_{4k+2} + a_{4k+3}),$$ ด้วยเหตุนี้

$$\begin{align} S &= \sum_{k=0}^\infty \left(3 \frac{\log(4k+2)}{4k+2} - \frac{\log(4k+3)}{4k+3} - \frac{\log(4k+4)}{4k+4} - \frac{\log(4k+5)}{4k+5}\right) \\ &= \sum_{k=0}^\infty (3a_{4k+2} + 2a_{4k+3} + a_{4k+4}) \\ &= \sum_{k=1}^\infty a_{2k} + \sum_{k=0}^\infty 2(a_{4k+2} + a_{4k+3}). \tag{2} \end{align} $$

ต่อไปเราจะสังเกต $$2(a_{4k+2} + a_{4k+3}) = \frac{\log(4k+2)}{2k+1} - \frac{\log(4k+4)}{2k+2} = a_{2k+1} + \left(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+2}\right)\log 2.$$ ดังนั้น

$$\sum_{k=0}^\infty 2(a_{4k+2} + a_{4k+3}) = \sum_{k=0}^\infty a_{2k+1} + \log 2 \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \sum_{k=0}^\infty a_{2k+1} + \log^2 2. \tag{3}$$

สุดท้ายวาง $(1)$, $(2)$และ $(3)$ ร่วมกันให้ผลลัพธ์ที่ต้องการ: $$S = \log^2 2 + \sum_{k=1}^\infty a_{2k} + \sum_{k=0}^\infty a_{2k+1} = \log^2 2 + \sum_{k=1}^\infty a_k = \log^2 2.$$

Answer 4

นี่ไม่ใช่คำตอบจริงๆ แต่ยาวเกินไปสำหรับความคิดเห็น ฉันแค่อยากจะแบ่งปันแนวทางอื่นที่เป็นไปได้ซึ่งอาจทำให้เกิดปัญหานี้ได้ ผลรวมของเราคือ$$S=\frac{3\ln( 2)}{2} -\frac{\ln( 3)}{3} -\frac{\ln( 4)}{4} -\frac{\ln( 5)}{5} +...$$ แต่เราสามารถจัดกลุ่มคำศัพท์ใหม่เป็น $$S=\left(\frac{\ln( 2)}{2} -\frac{\ln( 3)}{3}\right) +\left(\frac{\ln( 2)}{2} -\frac{\ln( 4)}{4}\right) +\left(\frac{\ln( 2)}{2} -\frac{\ln( 5)}{5}\right) +...$$ ดังนั้น, $$S=\sum_{k=0}^\infty \left[\frac{\ln(4k+2)}{4k+2}-\frac{\ln(4k+3)}{4k+3}\right]+\sum_{k=0}^\infty \left[\frac{\ln(4k+2)}{4k+2}-\frac{\ln(4k+4)}{4k+4}\right]+\sum_{k=0}^\infty \left[\frac{\ln(4k+2)}{4k+2}-\frac{\ln(4k+5)}{4k+5}\right]$$ อย่างไรก็ตามการใช้กฎของลอการิทึมและการเปลี่ยนดัชนีของเราเราอาจระบุว่าเป็น $$S=\ln\left(\prod_{k=1}^\infty \frac{(4k-2)^{4k-2}}{(4k-1)^{4k-1}}\right)+\ln\left(\prod_{k=1}^\infty \frac{(4k-2)^{4k-2}}{(4k)^{4k}}\right)+\ln\left(\prod_{k=1}^\infty \frac{(4k-2)^{4k-2}}{(4k+1)^{4k+1}}\right)$$ สิ่งที่เรียบร้อยก็คือผลิตภัณฑ์ทั้งหมดเหล่านี้มาบรรจบกันอย่างแน่นอนเนื่องจากผลิตภัณฑ์เหล่านี้เป็นเสียงเดียวที่เพิ่มขึ้นและถูกล้อมรอบจากด้านบน $1$. ผลิตภัณฑ์เหล่านี้ทำให้ฉันนึกถึงผลิตภัณฑ์ที่เป็นที่รู้จักกันดี$$\prod_{n=1}^\infty \frac{n^{\frac{1}{n}}}{(n+1)^{\frac{1}{n+1}}}=1$$ บางทีใครบางคนอาจพูดอะไรบางอย่างที่มีความหมายเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์ของแบบฟอร์ม $$P(a,b,c)=\prod_{k=1}^\infty \frac{(ak+b)^{\frac{1}{ak+b}}}{(ak+c)^{\frac{1}{ak+c}}}$$ ฉันค่อนข้างสงสัยเกี่ยวกับเรื่องนี้