ตัวแยก Toroidal Heegaard

Question

สมมติว่าฉันมีการแยก Heegaard ของท่อร่วม 3 ช่องที่ไม่สามารถปรับเปลี่ยนเชิงปิดได้ $M$ซึ่งกำหนดโดยแผนภาพ Heegaard $(\Sigma_{g},\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{g}\},\{\beta_{1},\dots,\beta_{g}\})$. มีเงื่อนไขที่ชัดเจนเพียงพอหรือจำเป็นสำหรับการติดโค้งเมื่อใด$M$ toroidal (หรือ atoroidal) คืออะไร?

โอกาสในการขายทุกประเภทจะเป็นประโยชน์

Answer 1

ใน " 3-manifoldsของ Hempel เมื่อมองจากคอมเพล็กซ์เส้นโค้ง " หนึ่งในทฤษฎีบทหลักคือเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการเป็น toroidal โดยเฉพาะอย่างยิ่งเขาแสดงให้เห็นว่าถ้า 3-Manifold เป็น toroidal แล้วก็จะเห็นว่าตัวต่อของ Heegaard ทั้งหมด$\Sigma$, มี $d(\Sigma) \leq 2$, ที่ไหน $d$คือระยะทาง Hempel ดังนั้นการทำตามโครงสร้างในกระดาษเดียวกันสำหรับการแยกชิ้นส่วนของฮีการ์ดระยะทางสูงจะช่วยให้คุณมีคอลเลกชันของท่อร่วมอะตอมจำนวนมาก

ไปอีกทางหนึ่งนี่คือวิธีการรับ tori ใน 3 ท่อที่ได้รับจากการแยก Heegaard (การตรวจสอบว่าโทริเหล่านี้มีความสำคัญน้อยกว่าสำหรับฉันหรือไม่) สมมติว่า$c_1$ และ $c_2$ มีเส้นโค้งอยู่ $\Sigma$ ซึ่งผูกห่วงในด้ามจับที่กำหนดโดยคุณ $\alpha$ เส้นโค้งเช่นเดียวกับวงแหวนในด้ามจับที่กำหนดโดยคุณ $\beta$เส้นโค้ง การติดกาว annuli เหล่านี้เข้าด้วยกันจะทำให้เกิดพรูในท่อ 3 ท่อตัดกับพื้นผิวของ Heegaard ใน$c_1$ และ $c_2$.

ในทางปฏิบัติวิธีการสร้างดังกล่าว $c_i$ คือการเริ่มต้นด้วย $c_1$ และ "เลื่อน" ไว้บนไฟล์ $\alpha$เส้นโค้งเพื่อให้การเลื่อนนี้กวาดวงแหวนที่ต้องการออกไป นอกจากนี้เรายังสามารถอธิบายโครงสร้างนี้ให้เป็นคอลเลกชันได้อีกด้วย$c_1 ... c_n$ ที่ไหน $c_1$ และ $c_2$ ผูกห่วงไว้ใน $\alpha $ มือจับ $c_2$ และ $c_3$ ผูกห่วงไว้ใน $\beta$ มือจับ ฯลฯ

Answer 2

ฉันได้พบกระดาษ `` คุณสมบัติเส้นโค้งที่ไม่ปะติดปะต่อและประเภท 2 มากมาย 'โดย Abigail Thompson ซึ่งเธอพิสูจน์ให้เห็นว่าถ้า Heegaard แยกออกเป็น 3 ท่อ $M$ ไม่มีคุณสมบัติเส้นโค้งไม่ปะติดปะต่อกันแล้ว $M$ เป็น atoroidal

ปล่อย $M_{1}\cup_{\Sigma}M_{2}$ เป็น Heegaard แยกสำหรับ $M$. จากนั้นการแยก Heegaard จะมีคุณสมบัติของเส้นโค้งที่ไม่ปะติดปะต่อกันหากมีเส้นโค้งปิดที่เรียบง่ายที่จำเป็น$c, a$ และ $b$ บน $\Sigma$ ที่ไหน $c$ ไม่ปะติดปะต่อจาก $a$ และ $b$ บน $\Sigma$และ $a$ ผูกดิสก์เข้า $M_{1}$และ $b$ ผูกดิสก์เข้า $M_{2}$.