ทฤษฎีบทของ Munkres van Kampen

Question

ปัญหาข้างต้นอยู่ใน Munkres topology แบบฝึกหัด 70.2 ฉันกำลังพยายามกำหนดแผนที่$\phi_2$. ความพยายามของฉันคือก่อนอื่นให้กำหนด isomorphism$\varphi:\pi_1(U\cap V)/N\to \pi_1(V)$ ที่ไหน $N:=ker(i_2)$. กำหนดถัดไป$\phi_2$ โดย $\phi_2([f])=\phi_1(i_1(\varphi^{-1}([f])))$. จากนั้น$\phi_1(i_1([f]N))=\phi_1(i_1([f])i_1(N))=i_1([f])i_1(N)M=i_1([f])M$. ใช้ได้หรือไม่

Answer 1

นี่ดูเหมาะกับฉัน ในขั้นตอนสุดท้ายคุณกำลังใช้สิ่งนั้น$i_1(N) \subset M$ซึ่งเป็นข้อมูลสำคัญในปัญหานี้ แนวคิดที่แม่นยำน้อยกว่าคือการใช้$$ \pi_1(V, x_0) \cong \pi_1(U \cap V, x_0)/N \xrightarrow{i_1} \pi_1(U, x_0)/M = H $$ โดยที่แผนที่ที่สองเกิดจาก $i_1 : \pi_1(U \cap V, x_0) \to \pi_1(U, x_0)$ และมีอยู่เพราะ $i_1(N) \subset M$.

นี่เป็นวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้อง แต่ฉันจะพูดถึงว่าฉันชอบคิดเรื่องนี้แตกต่างกันเล็กน้อย ทฤษฎีบทของ Van Kapen ระบุ$\pi_1(X, x_0)$ ด้วยผลิตภัณฑ์ฟรีที่ผสมกัน $G_1 *_H G_2$ ที่ไหน $G_1 = \pi_1(U, x_0)$ และ $G_2 = \pi_1(V, x_0)$ และ $H = \pi_1(U \cap V, x_0)$ (นี่คือโคลิมิตของไดอะแกรมที่คุณเขียนไว้ในหมวดหมู่ของกลุ่ม)

ตอนนี้สมมติว่า $H \to G_2$ จะคาดเดาได้ดีก็ควรจะ "ชัดเจน" ว่า $G_1 *_H G_2 = G_1 / \left< \ker{(H \to G_2)} \right> $ ที่ไหน $\left< \ker{(H \to G_2)}\right>$ เป็นกลุ่มย่อยปกติของ $G_1$ สร้างโดยภาพใน $G_1$ ของเคอร์เนลของ $H \to G_1$. ทำไมถึงเป็นแบบนี้? ถ้าทุกอย่างเข้า$G_2$ อยู่ในภาพของ $H \to G_2$ จากนั้นก็สามารถ "ควบรวม" เป็น $G_1$ และยิ่งไปกว่านั้นการควบรวมกันฆ่าทุกสิ่งใน $G_1$ ที่มาจากบางสิ่งใน $H$ การแมปเป็นศูนย์ภายใต้ $H \to G_2$. หากคุณคุ้นเคยกับทฤษฎีหมวดหมู่คุณควรจะแสดงให้เห็นว่าเมื่อใด$H \to G_2$ ก็คาดไม่ถึงแล้ว $H \to G_1 \to G_1 *_H G_2$ ทำให้ $G_1 *_H G_2$ cokernel ของ $H \to G_1$ ให้สิ่งที่คุณต้องการ