วงโคจรของ $SO(3)$

Question

ข้อจำกัดความรับผิดชอบ:คำถามนี้มีการแก้ไขหลายครั้ง อันนี้ถือว่ากรณีนี้$k=\mathbb{R}$ในขณะที่ฉันจะโพสต์อีกเรื่องสำหรับกรณีที่ซับซ้อน

พิจารณาการกระทำของ $SO(3)$ บน $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ด้วยพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน $x_0,x_1,x_2$ของแบบฟอร์ม $$SO(3)\times\mathbb{P}^2\to \mathbb{P}^2$$ $$(A,p)\mapsto Ap.$$ ฉันต้องการทำความเข้าใจว่าอะไรคือวงโคจรของการกระทำนี้และเข้าใจว่าการกระทำนั้นเป็นสกรรมกริยาหรือไม่ $SO(3)\simeq \mathbb{P}^2$ นั่นคือตั้งแต่ $SO(3)/SO(3)_p\simeq SO(3)p$, อยากเรียน $$SO(3)/SO(3)_p.$$ สำหรับการทำเช่นนั้นฉันพิจารณาเพื่อความเรียบง่าย poitn $p=(1:0:0)$และฉันพบว่า $$SO(3)_p=\{A\in SO(3)\mid \text{the first columns of $ก$ is equal to $พี$}\}.$$ เพื่อที่จะสรุปได้ฉันควรแสดงให้เห็นว่าประเด็นนั้น $y\in \mathbb{P}^2$มีเมทริกซ์อยู่ $B\in SO(3)$ ดังนั้น $Bp=y$คือคอลัมน์แรกของ $B$ เท่ากับ $y$. น่าเสียดายที่ตอนนี้ฉันติดขัดเพราะฉันไม่รู้วิธีสร้างเมทริกซ์จากคอลัมน์$y$.

Answer 1

คุณต้องมีเมทริกซ์ $B$ ดังนั้น $Bp$ เป็นสัดส่วนกับ $y$ (คิดถึง $y$ เป็นเวกเตอร์ใน $\Bbb R^3$). ดังนั้นขั้นตอนแรกคือการแทนที่$y$ ด้วย $y/\|y\|$ดังนั้นมันจึงเป็นเวกเตอร์หน่วย จากนั้นคุณต้องมีเมทริกซ์การหมุนที่มีคอลัมน์แรก$y$. อีกสองคอลัมน์จะต้องตั้งฉากกัน$y$และพวกเขาต้องมองโลกในแง่บวก นี่คือการก่อสร้าง:

ให้รายการที่เล็กที่สุดของ $y$ในค่าสัมบูรณ์เป็น $i$ธ . ปล่อย$w = e_i$. คำนวณ$$ v = w - w \cdot y $$ ซึ่งตั้งฉากกับ $y$ (ทำไมถึงไม่เป็นศูนย์นั่นคือแบบฝึกหัดสำหรับคุณ) แล้วปล่อยให้ $$ u = v / \| v \| $$ ซึ่งเป็นเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับ $y$. จากนั้นให้$B$ เป็นเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์ $y, u, $ และ $y \times u$.

แต่โปรดทราบว่าสิ่งนี้ใช้ได้กับทุกจุด $y$ไม่ใช่แค่เส้นโค้งของคุณ $C$ดังนั้นฉันจึงไม่เข้าใจว่าสิ่งนี้ช่วยแก้ปัญหาของคุณอย่างไร ฉันอาจเข้าใจผิดบางอย่าง