2 kategoride kanonik model yapısı
Bu beni şaşırttı Bunun homotopi kategorisi kanonik model yapısı üzerinde$\text{Cat}$tanıdık bölüm kategorisidir $\text{Cat}/\sim$morfizmleri functors olan doğal dönüşümleri modulo. Yardım edemem ama bu bölümün herhangi bir 2 kategoride alınabileceğini fark ediyorum$\mathcal C$, morfizmleri $\mathcal C/\sim$ 1-morfizmler, modulo 2-morfizmlerdir.
- Bu genel durumda, üzerinde bir model yapısı var mı (tamamlanmış ve tamamlanmış) $\mathcal C$ kimin homotopi kategorisi $\mathcal C/\sim$? Yoksa bu özel bir özellik mi$\text{Cat}$?
Aşağıdakileri fark ettim:
- zayıf eşdeğerleri $\text{Cat}$ taklit edilebilir $\mathcal C$ kelime kelime
- İzofibrasyonlar , "bağımsız izomorfizm" kavramı, yani bir nesne varsa taklit edilebilir.$i\in\mathcal C$ öyle ki $ \text{Iso}(c) \cong \mathcal C(i,c) $ herhangi $c\in\mathcal C$.
- nesnelerden beri $\mathcal C$doğal olarak nesneler / morfizmler kavramına sahip değilsiniz, izokofibrasyonlar için doğal bir anolog yok; onlardan monomorfizm olmalarını isteyebiliriz, ancak bu daha güçlü bir gerekliliktir.
Yanıtlar
Herhangi 2 kategoride $\mathcal K$ her ne olursa olsun, "temsili" bir eş-titreşimi tanımlayabilirsiniz: bu bir morfizmdir $f:x\to y$ öyle ki her nesne için $a$, indüklenen functor $\mathcal K(a,x)\to \mathcal K(a,y)$kategorilerin bir eşleştirmesidir. Daha sonra zayıf eşdeğerlikler olarak eşdeğerlik önerinizle birlikte, en fazla bir olası model yapısı vardır, çünkü zayıf eşdeğerlikler ve fibrasyonlar, kofibrasyonları, önemsiz fibrilasyonlara karşı sola kaldırmayı kabul eden morfizmler olarak belirler.
Aslında, sürece $\mathcal K$2 kategori olarak eksiksiz ve tamamlayıcıdır , bu model yapısı her zaman mevcuttur. Çarpanlara ayırma fikri, çarpanlara ayırmaktır.$f:x\to y$ bir kofibrasyon ve "eşleme silindiri" kullanılarak yapılan önemsiz bir fibrasyon olarak sözde eş-sınırlama olarak gerçekleştirilen $f$ve önemsiz bir kofibrasyon olarak, sözde-limiti ile verilen "yol nesnesi" kullanılarak yapılan bir fibrasyon $f$. Bu, Bölüm 4'te kanıtlanan Steve Lack'in bir teoremidir .