A-teorisinin tanımı üzerine
Waldhausen'in A-teorisi, cebirsel K-uzay teorisinin bir versiyonudur. Somut olarak, (sivri) bir boşluk için$X$'Waldhausen kategorisini' düşünüyor $\mathcal R_f(X)$ üzerinde sonlu geri çekilebilir CW-komplekslerinin $X$, onun uygular $S_{\bullet}$ inşa eder ve sonsuz bir döngü alanı elde eder, $A(X)$. Functor$A$ yüksek boyutlu geometrik topolojide son derece önemlidir, örneğin tanımında belirgin bir şekilde $Wh^{\text{Diff}}(X)$ve parametreleştirilmiş olarak $h$-kobordizm teoremi, Waldhausen, Jahren ve Rognes.
Bir süredir buna inandım $A(X)$ eşdeğer olarak tanımlanabilir (Waldhausen teorisini geliştirdiğinde mevcut olmayan modern makineleri kullanarak) $K$- halka spektrumu teorisi $\sum^{\infty}_+ \Omega X$uygun yorumlandı.
Bu hafta öğrendim ki, bu bağlı bileşenleri anlamak için işe yarasa da, üzerinde doğru açıklamayı vermiyor. $\pi_0$: herhangi bir bağlı alan için $X$, $\pi_0A(X)$ basitçe $\mathbb Z$, göreceli hücre kompleksinin göreli Euler karakteristiği ile verilir. Dahası, kanonik harita$A(X) \to K(\mathbb Z\pi_1(X))$ kanonik haritayı başlatır $\mathbb Z \to K_0(\mathbb Z\pi_1(X))$ bağlı bileşenlerde ve bu haritanın çekirdek $\tilde{K}_0(\mathbb Z \pi_1)$, bu genellikle önemsiz değildir. (Bkz. Wall'un sonluluk engellemesi).
Öyleyse sorum şu: olabilir mi? $A$-teori, sonlu göreli CW-komplekslerinin aksine sonlu hakimiyet açısından tanımlandı ve sonra inandığım şeyin gerçekte geçerli olduğuna inandım? Ve şunu aklımızda tutmalıyız ki, bu farkın$\pi_0$ama bunun dışında her şey yolunda mı? Yoksa daha önemli bir şeyler mi oluyor?
Bu soru biraz belirsizse özür dilerim, ama bu konuda kafası karışabilecek tek kişinin ben olmadığımı hissettim ...
Yanıtlar
Soru cevapsız kaldığı için Tom Goodwillie'nin yorumunu kopyalayayım:
Sonlu yerine sonlu hakimiyete izin verirseniz, yalnızca π0 değişir. Benzer şekilde, K (R) 'yi tanımlarken, ücretsiz yerine sonlu olarak oluşturulmuş projektif modülleri kullanırsanız, sadece π0'ı değiştirir. Bunun Waldhausen'in büyük temel makalesinde bir yerde tartışıldığına inanıyorum. Ve EKMM kitabında, bağlayıcı halka spektrumları için ilgili konu tartışılmaktadır.
Daha detaylı olarak $X$ bağlantılı bir alan (∞-) mükemmel kategorisi $\mathbb{S}[\Omega X]$-modüller, üzerinde sonlu baskın olan geri çekilebilir CW kompleksleri kategorisinin Spanier-Whitehead kategorisidir. $X$ve bu nedenle aynı cebirsel K-teorisine sahiptir. Sonlu geri çekilebilir CW kompleksleri ile sınırlama$X$ sabit mükemmel alt kategorisini almaya karşılık $\mathbb{S}[\Omega X]$-klimit altında özgür olanlar tarafından üretilen modüller ve bu nedenle Waldhausen'in ortak sonluluk teoremi ile sadece $\pi_0$ ile $\mathbb{Z}$.
Bu, Jacob Lurie'nin Cebirsel K-teorisi ve manifold topolojisi dersinin 21. Dersinde ayrıntılı olarak işlenmiştir . Burada özellikle Warning ~ 9'a dikkat edin; burada Lurie, kendi A-teorisi tanımının yalnızca$\pi_0$.