Abel kriter kanıtı

Question

Şu ifadeyi ispatlamak istiyorum:

İzin vermek $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$ yakınsak bir dizi ve $\left(b_k\right)_{n\in\mathbb{N}}$monoton ve sınırlı bir dizi. Sonra$\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ aynı zamanda yakınsaktır.

Bu sorunla ilgili halihazırda birkaç soru olduğunu biliyorum, ancak çoğunlukla ek varsayımlara sahipler (ör. $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ ile $b_k\geq 0$ hepsi için $k$).

---

Benim yaklaşımım:

Biz tanımlıyoruz $A_n:=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k$. Gibi$A_n$ yakınsak mı bir sınır var $A$ öyle ki $|A_n|\leq A$ hepsi için $n$. Biz biliyoruz ki$\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ yakınsak ve dolayısıyla dizi $\left(A_kb_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$aynı zamanda yakınsaktır (iki yakınsak dizinin ürünü). İzin vermek$n_1$ ve $n_2$ herkes için iki endeks $n,m$ ile $n>m>n_1$ o tutar $|A_nb_n-A_mb_m|<\frac{\epsilon}{2}$ ve herkes için $n,m$ ile $n>m>n_2$ o tutar $|b_n-b_m|<\frac{\epsilon}{2A}$. Şimdi tanımlıyoruz$n_0:=\max\{n_1,n_2\}$. Bunu aklımızda tutarak Abel lemmasını (parçalara göre toplama) uygularız ve bunu herkes için takip eder.$n>m>n_0$:

$$ |\sum\limits_{k=m+1}^{n} a_kb_k|=|A_nb_n-A_mb_m+\sum\limits_{k=m}^{n-1} A_k(b_k-b_{k+1})|\leq |A_nb_n-A_mb_m|+\sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k(b_k-b_{k+1})| \cdots $$ Eğer $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ monoton olarak azalıyor: $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_k-b_{k+1})\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_k-b_{k+1})=\frac{\epsilon}{2}+A (b_m-b_n)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$

Eğer $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ monoton bir şekilde artmaktadır: $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_{k+1}-b_k)\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_{k+1}-b_k)=\frac{\epsilon}{2}+A (b_n-b_m)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$ Yani her iki durumda da $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ Cauchy kriterini karşılar ve dolayısıyla yakınsaktır.

Bu doğru mu yoksa daha zarif / daha hızlı bir yaklaşım var mı?

Answer 1

Başka bir yaklaşım için, kısmi toplamlar dizisinin Cauchy kriterini kullanmadan yakınsadığını gösterebiliriz. Sınırlarımız var$\lim_{n \to \infty}A_n = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^na_k =A$ ve $\lim_{n\to \infty}b_n = b .$

Parçalara göre topladığımızda

$$S_n =\sum_{k=1}^n a_kb_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^n (A_k - A_{k-1})b_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^{n} A_k b_k- \sum_{k=2}^{n} A_{k-1} b_k \\ = \sum_{k=1}^{n} A_k b_k- \sum_{k=1}^{n-1} A_{k} b_{k+1} = A_nb_{n+1} + \sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1})$$

Seri $\sum(b_k - b_{k-1}) $ o zamandan beri birleşiyor $\sum_{k=1}^n (b_k - b_{k+1}) = b_1 - b_{n+1} \to b_1 - b$ gibi $n \to \infty$. Dan beri$(A_k)$ sınırlı bir dizidir ve terimler $(b_k- b_{k+1})$ hepsi aynı işarettir, bunu takip eder $\sum A_k(b_k - b_{k+1})$ yakınsaktır.

Bu nedenle dizi $\sum a_kb_k$ o zamandan beri birleşiyor

$$\sum_{k=1}^\infty a_kb_k = \lim_{n \to \infty}A_nb_{n+1} + \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1}) = Ab + \sum_{k=1}^\infty A_k(b_k - b_{k+1})$$

Answer 2

Dirichlet'in kriterinden kaynaklanıyor. Gerçekten, varsayalım$b_k \le b_{k+1}$ ve $\lim b_k = b$.

Sonra

\begin{align} \sum_{k=1}^n a_k b_k &= \sum_{k=1}^n a_k b - a_k (b - b_k) \\ &= b\sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^n a_k (b - b_k). \end{align}

İlk toplam bir hipotez olduğu için birleşir ve ikinci toplamın yakınsaması yukarıda bahsedilen teoremi takip eder.

Ancak Dirichlet'in kriterinin olağan kanıtı parçalara göre özetlenerek yapıldığından, bu sizin argümanınız üzerinde bir gelişme değildir.